復變函數與積分變換習題解答-展示頁
2025-04-03 00:17本頁面
【正文】 要使為調和函數，有：，即：時，為調和函數，要使解析，則 即： 3．如果為解析函數，試證是的共軛調和函數。三是可導（解析）函數的和、差、積、商與復合仍可導（解析）函數。 答：一是定義。（3）用條件判斷解析時應注意些什么？ 答：是否可微。這是因為在解析，不但要求在可導，而且要求在的某個鄰域內可導，因此，在解析比在可導的要求高得多，如在=0處可導，但在處不解析。證:由于在且域內解析，則可得方程成立，即且1）→2）由則在內成立，故（2）顯然成立， 2）→3）由是常數 即 常數3）→4） 常數 由條件 是常數 常數4）→5）若因在內解析 即 一階偏導連續(xù)且滿足條件在內解析。解：由條件可知： 所以 又 所以 即 ，試證明在內下列條件是彼此等價的。（2） 解：令 則 因在復平面上處處滿足條件，且偏導數連續(xù)，故可導且解析。 解： 當時，導數不存在，當時，導數為0。（2）設復變函數當時的極限存在，此極限值與z趨于所采取的方式（取的路徑）有無關系？答：沒有關系，以任意方式趨于時，極限值都是相同的，反過來說，若令沿兩條不同的曲線趨于時極限值不相等，則說明在沒有極限，這與高等數學中的情形是類似的，只是一元實函數中，只能從左、右以任何方式趨于，而這里可以從四面八方任意趨于。 證：= 令 則：上述極限為不確定，因而極限不存在。0y（1）解：由，得 又，得有界，單連域0xy11（2）解：令 由 即：無界，單連域y（3）3/5x解：令 則：無界，多連域v4．對于函數，描出當在區(qū)域內變化時，的變化范圍。解：由題設可知：即：若：，則Z的軌跡為一點，0y(1,1)(1,4)若：，則Z的軌跡為圓，圓心在，半徑為 若：，無意義2．用復參數方程表示曲線，連接與直線段。（2）是否任意復數都有輻角？答：否，是模為零，輻角無定義的復數。證：7．設是Z的輻角），求證證： 則 當時 故 當時，同理可證。證：因所以都在圓周又因=0則，所以也在圓周上，又所以以0，為頂點的三角形是正三角形，所以向量之間的張角是，同理之間的張角也是，于是之間的張角是，同理與，與之間的張角都是，所以是一個正三角形的三個頂點。1）解：（2）解：3．利用復數的三角表示計算下列各式。復變函數與積分變換習題解答 練 習 一1．求下列各復數的實部、虛部、模與幅角。35（1）；解：=（2）解： 2．將下列復數寫成三角表示式。（1）解：（2）解：z3z2z1+z204．.設三點適合條件：=0，是內接于單位圓=1的一個正三角形的項點。5．解方程6．試證：當時，則。*8 .思考題：（1）復數為什么不能比較大小？答：復數域不是有序域，復數的幾何意義是平面上的點。 練 習 二0iy1．指出滿足下列各式的點Z的軌跡是什么曲線？（1）解：設 則 則點Z的軌跡為：（2），其中為實數常數；解：設 則：y 則：0b若： 則軌跡為： 若： 則 軌跡：若： 則無意義（3），其中為復數為實常數。解： 則3．描出下列不等
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