復(fù)變函數(shù)與積分變換fourier變換簡(jiǎn)介-展示頁(yè)
2024-08-21 08:56本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????????? δ 函數(shù)及其 Fourier變換 δ 函數(shù)的定義 (1)(狄拉克 )滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱(chēng)為δ 函數(shù)。,2,1 22 ???? nbaA nnn() njtnnf t C e ???? ??? ?2 ,2 nnnnnnjbaCjbaC ????? 222nnnnbaCC ????nn CA 2?? ?nc F n ?? ? ?Tnftc的 離 散 頻 譜 ；? ?a r gTnftc的 離 散 振 幅 頻 譜 ；? ? .Tf t n ??的 離 散 相 位 頻 譜 ； 連續(xù)頻譜 在頻譜分析中 , Fourier變換 F(?)又稱(chēng)為 f(t)的頻譜函數(shù) , 而它的模 |F(?)|稱(chēng)為 f (t)的振幅頻譜 (亦簡(jiǎn)稱(chēng)為頻譜 ). 由于 ?是連續(xù)變化的 , 我們稱(chēng)之為連續(xù)頻譜 , 對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù) f (t)作 Fourier變換 , 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù) f (t)的頻譜 . ? ?F ? ? ?? ?ftF ?的 頻 譜 密 度 函 數(shù) ；? ?? ?a r gftF ?的 振 幅 頻 譜 ；? ?ft 的 相 位 頻 譜 。條 ,才能保證 存在。才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為 Fourier級(jí)數(shù)。在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件； ????? ??dttf )(( ) ( ) jtF f t e d t?? ?? ???? ? 而在 f (t)的間斷點(diǎn) t0處，應(yīng)以 代替該式左端的 f (t)。 )()(lim tftf TT ????1( ) ( )2 j t j tf t f t e d t e d w??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ???? 這個(gè)公式稱(chēng)為函數(shù) f (t)的 Fourier積分公式 【 Fourier積分定理 】 若 f (t)在 (∞， +∞)上滿足下列條件： 2176。LL01( ) ( c o s ( ) s in ( ) ) ( 1 . 1 )2 T n nnaf t a n t b n t????? ? ?? 其中 稱(chēng)為頻率，頻率 ω對(duì)應(yīng)的周期 T與fT(t)的周期相同，因而稱(chēng)為基波頻率， nω稱(chēng)為 fT(t)的 n次諧波頻率。Fourier變換簡(jiǎn)介 1. Fourier級(jí)數(shù) 一、 Fourier 積分 以 2π為周期的周期函數(shù) f (t)， 如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上 f(t)可以展成Fourier級(jí)數(shù)，在 f(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的三角形成為 [ ],pp01( ) ~ ( c o s ( ) s in ( ) ) ( 1 . 0 )2 nnnaf t a n t b n t?????0 1 ()a f t d tppp = 242。1 ( ) c o s( ) 1 2 3 ( n )na f t nt d t , , ,??? ????1 ( ) s in ( ) 1 2 3 ( n )nb f t nt d t , , ,??? ????[ ],pp 以 T為周期的周期函數(shù) fT(t)， 如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上 fT(t)可以展成Fourier級(jí)數(shù)，在 fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的三角形成為 ??????? 2,2 TT??????? 2,2 TT01( ) ( c o s ( ) s in ( ) ) ( 1 . 1 )2 T n nnaf t a n t b n t????? ? ??2022 ()TTTa f t d tT ?? ?222 ( ) c o s ( ) 1 2 3 ( )TTnTa f t n t d t n , , ,T ?????222 ( ) s in ( ) 1 2 3 ( )TTnTb f t n t d t n , , ,T ????? 級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式 () ???? ? ?? ? njtTnnf t C e其中， 222, 0 , 1 , 2 ,1( ) , 0 , 1 , 2 ,nnTjtnT TTnnC f t e d t nTwpwww=== 北== 北242。 T?? 2?? ?)0()0(21 00 ??? tftf 在 fT(t)的間斷點(diǎn) t0處，式 ()的左端代之為 即 任何一個(gè)非周期函數(shù) f (t)都可以看成由某個(gè)周期函數(shù) fT(t)當(dāng) T→+∞ 時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。 則積發(fā) 存在 ,并且在 f (t)的連續(xù)點(diǎn)處 1176。 1( ) ( )2 jtf t F e d t??? ????? ?? ?)0()0(21 00 ??? tftf【 注 】 非周期函數(shù)滿足 Fourier積分定理的條件 1176。 滿足 Fourier積分定理的第 2176。 )(lim tfTT ???二、 Fourier變換 定義 設(shè) f (t)和 F(ω)分別是定義在 R上的實(shí)值和復(fù)值函數(shù)，稱(chēng)它們是一組 Fourier變換對(duì)，如果成立 ( ) ( ) jtF f t e d t?? ?? ???? ? 1( ) ( )2 jtf t F e d w??? ????? ?并稱(chēng) F(ω)為 f (t)的象函數(shù)或 Fourier變換，記為F[f(t
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