復(fù)變函數(shù)與積分變換留數(shù)-展示頁
2024-09-01 12:51本頁面
【正文】 ntegral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 求函數(shù)在孤立奇點(diǎn) z0處的留數(shù)就是求它在去心鄰域內(nèi)所展洛朗級數(shù)中 (zz0)1 項(xiàng)的系數(shù) c1 即可 . 但如果知道奇點(diǎn)的類型 , 對求留數(shù)會更有利 . 如果 z0是 f (z)的可去奇點(diǎn) , 則 Res[f(z),z0]=0 . 如果 z0 是本性奇點(diǎn) , 則只好將其 展開成 洛朗級數(shù) . 如果 z0 是極點(diǎn) , 則有如下規(guī)則 : 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換3. (極點(diǎn) )留數(shù)的計(jì)算規(guī)則 000R e s[ ( ) , ] l im ( ) ( )???zzf z z z z f z0100 11Re s [ ( ) , ] l im [ ( ) ( ) ]( 1 ) !mmmzzdf z z z z f zm d z??????規(guī)則 2 如果 z0為 f(z)的 m級極點(diǎn) , 則 事實(shí)上 , 由于 f(z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(zz0)+..., (zz0)m f(z)=cm+cm +1(zz0)+...+c1(zz0)m1+c0(zz0)m+..., 規(guī)則 1 如果 z0為 f (z)的一級極點(diǎn) , 則 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換10 1 0 01 { ( ) ( ) } ( 1 ) ! ( 1 ) 3 2 ( )mmmd z z f z m c c m m z zdz??? ? ? ? ? ? ? ? ?令 z?z0,右端的極限是 (m1)!c1,兩端除以 (m1)! 就是 Res[f(z),z0],即得 規(guī)則 2,當(dāng) m=1時(shí)就是 規(guī)則 1。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換.π2d)( 1??? iczzfC兩端沿 C逐項(xiàng)積分 : 10 1 0 0 1 0nnf z c z z c z z c c z z????? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） （ ） （ ）0 0 | |? ? ? ?++ （ ） ，nnc z z z R1 L a u r e n tC ?即 是 積 分 過 程 中 唯 一 殘 留 下 來 的 系 數(shù) , 為 此1 ()2 C f z d zi? ? 定義 0000( ) ( ) ,0 | | ,???? ? ? 設(shè) 是 的 孤 立 奇 點(diǎn) 為 去 心 鄰 域內(nèi) 任 一 條 圍 繞 的 正 向 簡 單 閉 曲 線 則 稱 積 分z z f z Cz z z復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換D z1 z2 z3 zn C1 C2 C3 Cn C 定理一 設(shè)函數(shù) f(z)在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) z1, z2, ...,zn 外處處解析 . C是 D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線 , 則 1( ) d 2 π Re s[ ( ) , ] .nkkCf z z i f z z?? ??0001( ) Re s[ ( ) , ]1Re s[ ( ) , ] ( )2 Cf z z f z zf z z f z d z ci? ??? ?為 在 的 留 數(shù) ， 記 作 ， 即 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換證明 把 C內(nèi)的孤立奇點(diǎn) zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線 Ck圍繞起來 , 則根據(jù)復(fù)合閉路定理有 12( ) d ( ) ( ) ( ) .nC C C Cf z z f z d z f z d z f z d z? ? ? ?? ? ? ?121 ( ) d Re s [ ( ) , ] Re s [ ( ) , ] Re s [ ( ) , ]2 π nC f z z f z z f z z f z zi ? ? ? ??1( ) d 2 π R e s[ ( ) , ] .nkkCf z z i f z z?? ??即注意檢查定理中的條件要滿足。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換167。 留數(shù) 1. 留數(shù)的定義 如果函數(shù) f(z)在 z0的鄰域 D內(nèi)解析 ,那么根據(jù)柯西積分定理 ( ) 0 .Cf z d z ??()Cf z dz? 但是 , 如果 z0為 f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn) , 則沿在z0的某個(gè)去心鄰域 0|zz0|R 內(nèi)包含 z0的任意一條正向簡單閉曲線 C的積分 未必再等于零。例如 ? ? ?????? ??? 2 11lnz dzz求積分不能應(yīng)用留數(shù)定理。 規(guī)則 3 設(shè) ? ? ? ?()f z P z Q z? , P ( z ) 及 Q ( z ) 在 z 0 都解析 , 如果 P ( z 0 ) ? 0, Q ( z 0 )=0, Q 39。 ( z 0 ) ? 0 , 所以 z 0 為 Q ( z ) 的一級零點(diǎn) , 從而 z 0 為 ? ?1
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1