復變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)-展示頁
2024-09-01 12:51本頁面
【正文】 ? ? ???這是 t 的冪級數(shù) , 設(shè)收斂半徑為 R： 02 .z z R??對負冪項 , 如果令 t =(zz0)1, 可得： 011t R z z RR?? ? ? ? ?則當 |zz0|R1, 即 |t|R 時 , 011()nnnnnnc t c z z?? ????????? 收 斂 。因此 , 只有在 R1|zz0|R2的圓環(huán)域 , 原級數(shù)才收斂 . 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換z0 R1 R2 例如級數(shù) 10110(), 1 ,| | | | ,| | | | . | | | || | | | | | | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzba a az z zzzabz b a ba z b a b??????????????????????? ? ??????與 為 復 常 數(shù)中 的 負 冪 項 級 數(shù) 當即 時 收 斂 而 正 冪 項 級 數(shù) 則 當時 收 斂 所 以 當 時 , 原 級 數(shù) 在圓 環(huán) 域 收 斂 。 例如 , 上述級數(shù)在收斂環(huán)域內(nèi)其和函數(shù)是解析的 , 而且可以逐項積分和逐項求導。 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換21( ) 0 1 ,( 1 )0 | | 1 0 | 1 | 1 . 0 | | 11 1 1 1( ) 1 .( 1 ) 1, ( ) 0 | | 1 .? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????函 數(shù) 在 及 都 不 解 析 但 在 圓 環(huán) 域及 內(nèi) 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形 :由 此 可 見 在 內(nèi) 是 可 以 展 開 為 z 的 冪 級 數(shù)nf z z zzzz z zf z z z zz z z z zf z z其次 ,在圓環(huán)域 :0|z1|1內(nèi)也可以展開為 z1的冪級數(shù) : 21 2 11 1 1()( 1 ) 1 1 ( 1 )1[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnfzz z z zz z zzz z z z?????? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 O x y 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換定理 設(shè) f (z)在圓環(huán)域 R1 |z?z0| R2內(nèi)解析 , 則 010( ) ( )1 ( )d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()nnnn nCf z c z zfiz????? ? ????? ? ? ????其 中C為在圓環(huán)域內(nèi)繞 z0的任何一條正向簡單閉曲線。 ii) 1|z| 2。f z zzzx y O 1 x y O 1 2 x y O 2 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換先把 f(z)用部分分式表示 : 11( ) .12fz zz????22221 1 1i) 0 | | 1 ( )12121 1 3 7( 1 ) 1 .2 2 2 2 4 8? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????在 內(nèi) :z f zzzzzz z z z復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換ii) 在 1|z| 2內(nèi)： 1 1 1 1 1 1()11 2 2112fzzz z zz? ? ? ? ? ??? ??222211 1 1 1( 1 ) 12 2
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