【文章內(nèi)容簡介】 0 0 0 1 y x y o x y o x o 1 0 0 T3 = 0 1 0 0 0 1 cosα sinα 0 T4 = － sinα cosα 0 0 0 1 1 0 0 T5= 0 1 0 － C/A 0 1 組合變換矩陣為 ： cos2α sin2α 0 T =T1 T2 T3 T4 T5= sin2α － cos2α 0 (cos2α 1)C/A sin2α *C/A 1 原圖形上的任意一點(diǎn) P(x,y) 對該直線的對稱變換都可用下式實(shí)現(xiàn) ： [x* y* 1]=[x y 1]T 三維圖形變換 三維變換矩陣可表示為 ： a b c p d e f q h i j r l m n s 其中 ： a b c d e f 產(chǎn)生比例 、 錯切 、 鏡象和旋轉(zhuǎn)等基本變換 。 h i j [ l m n] 產(chǎn)生沿 x、 y、 z三軸方向上的平移變換。 p q 產(chǎn)生透視變換 。 r [ s ] 產(chǎn)生等比例縮放變換 。 T = 三維基本變換矩陣左上角的 3 3矩陣的主對角線上的元素 a， e， j的作用是使物體產(chǎn)生比例變換。 比例變換矩陣為： T = 0000 0 00 0 00 0 0 1aej???????????? 其中 a， e， j分別為沿 x， y， z軸方向的比例因子 。 對點(diǎn)進(jìn)行比例變換： [x y z 1]T = [ax ey jz 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ? 三維基本變換 1. 比例變換 三維對稱變換包括對原點(diǎn) 、 對坐標(biāo)軸和對坐標(biāo)平面的對稱 ， 常用的是對坐標(biāo)平面的變換 ， 我們對此加以討論： ⑴ 對 xoy平面的對稱變換 變換矩陣： 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1xo y??????????T變換后點(diǎn)的坐標(biāo)： [x39。 y39。 z39。 1] = [x y z 1] Txoy = [x y –z 1] ⑵ 對 xoz平面的對稱變換 2. 對稱變換 變換矩陣為： 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1xo z??????????T變換后點(diǎn)的坐標(biāo)： [x39。 y39。 z39。 1] = [x y z 1] Txoz = [x –y z 1] ⑶ 對 yoz平面的對稱變換 變換矩陣為： 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1yo z??????????????T變換后點(diǎn)的坐標(biāo)： [x39。 y39。 z39。 1] = [x y z 1]Tyoz = [–x y z 1] 上述的對稱變換結(jié)果如下圖所示。 Z X Y Z X Y Z X Y 分別對 XOY（左）、 XOZ（中）和 YOZ（右）平面的對稱變換結(jié)果 錯切變換是指三維立體沿 x， y， z三個方向產(chǎn)生錯切，錯切變換是畫斜軸測圖的基礎(chǔ)，其變換矩陣為： 1010100 0 0 1bcdfhi?????????????T [x y z 1]T = [x+dy+hz bx+y+iz cx+fy+z 1] = [x39。 y39。 z39。 1] 由變換結(jié)果看出，一個坐標(biāo)的變化受另外兩個坐標(biāo)變化的影響。 ⑴ 沿 x含 y錯切 3. 錯切變換 變換矩陣： ()1 0 0 01 0 00 0 1 00 0 0 1xyd?????????????T錯切變換： [x y z 1]Tx(y) = [x+dy y z 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ⑵ 沿 x含 z錯切 變換矩陣： x (z)1 0 0 00 1 0 0h 0 1 00 0 0 1?????????????T錯切變換： [x y z 1]Tx(z) = [x+hz y z 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ⑶ 沿 y含 x錯切 變換矩陣 : ()1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1yxb?????????????T錯切變換： [x y z 1]Ty(x) = [x y+bx z 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ⑷ 沿 y含 z錯切 變換矩陣： ()1 0 0 00 1 0 00 1 00 0 0 1yzi?????????????T錯切變換： [x y z 1]Ty(z) = [x y+iz z 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ⑸ 沿 z含 x錯切 變換矩陣： z( x )1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1c?????????????T錯切變換： [x y z 1]Tz(x) = [x y z+cx 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ⑹ 沿 z含 y錯切 變換矩陣： z(y )1 0 0 00 1 00 0 1 00 0 0 1f?????????????T錯切變換： [x y z 1]Tz(y) = [x y z+fy 1] = [x39。 y39。 z39。 1] 與二維旋轉(zhuǎn)變換類似 ， 三維旋轉(zhuǎn)變換可分為繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換和繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 。 三維旋轉(zhuǎn)變換要比二維旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜得多，但方法是相似的。三維旋轉(zhuǎn)變換可以看作是三個二維旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)軸分別為 x， y， z軸。 ⑴ 繞 x軸旋轉(zhuǎn) α 角 變換矩陣為： 1 0 0 00 co s s i n 00 s i n co s 00 0 0 1??????????????T4. 旋轉(zhuǎn)變換 ⑵ 繞 y軸旋轉(zhuǎn) β 角 變換矩陣為： co s 0 s i n 00 1 0 0s i n 0 co s 00 0 0 1??????????????T⑶ 繞 z軸旋轉(zhuǎn) γ 角 變換矩陣為： co s s i n 0 0s i n co s 0 00 0 1 00 0 0 1??????????????TZ X Y Z Y X X Z Y 物體分別繞 x（左）、 y（中）、 z（右）軸旋轉(zhuǎn) 90176。變換結(jié)果 將空間一點(diǎn)（ x， y， z）平移到一個新的位置（ x39。 y39。 z39。）的變換矩陣為： 1 0 0 00 1 0 00 0 1 01l m n?????????????T 變換后新點(diǎn)的坐標(biāo)為： [x39。 y39。 z39。 1] = [x y z 1]T = [x+l y+m z+n 1] 其中： l， m， n分別為沿 x， y， z方向上的平移量。 5. 平移變換 三維圖形變換中要注意的幾個問題： ，經(jīng)常會采用 s 來實(shí)現(xiàn)整體的比例變換。當(dāng) |s| 1 時，三維圖形整體等比例放大；當(dāng) |s| 1 時，三維圖形整體等比例縮小。 。 。 在采用右手坐標(biāo)系的情況下，圖形繞坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)角為正 ( 拇指指向坐標(biāo)軸的方向，其余四指指向旋轉(zhuǎn)方向 )，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。 (組合 )變換 對于復(fù)雜的三維圖形變換，也需要通過若干個變換矩陣的 級聯(lián)才能實(shí)現(xiàn)。特別要注意的是 變換的方法 和 矩陣級聯(lián)的順序。 例 :繞任意軸旋轉(zhuǎn)的問題 。 如圖所示 ， 設(shè)空間一般位置的旋轉(zhuǎn)軸是 AA39。， A的坐標(biāo)是 (xA， yA， zA)， A39。的坐標(biāo)是 (x39。A， y39。A， z39。A)，空間一點(diǎn) P(x， y， z)繞 AA39。軸旋轉(zhuǎn) θ 角到 P39。(x39。， y39。,z39。)， 即： [x39。 y39。 z39。 1] = [x y z 1]TAR TAR 為繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它是由基本變換矩陣組合而成，我們的任務(wù)就是要構(gòu)造矩陣 TAR ，步驟如下： X Z Y O P’ A A’ P θ ⑴ 將點(diǎn) P與旋轉(zhuǎn)軸 AA39。一直起作平移變換，使旋轉(zhuǎn)軸 AA39。過原點(diǎn)， A與原點(diǎn)重合，其變換矩陣為： ????????????????10100001000011AAAtzyxTX Z Y O A A’ ⑵ 令 AA39。軸