【正文】 第四章 解析函數的級數表示 1 復數列的極限 2 復數項級數 167。 復數項級數 復數列的極限 稱 為復數列 , 簡稱 ( 1 , 2 , 3 , )n n na i n??? ? ?為數列 , 記為 ? ?.na定義 設 是數列， 是常數 . ? ?na ai????如果 ?e 0, 存在正整數 N, 使得當 nN 時 , 不等式 naa e??成立 , 則稱當 n??時 , 收斂于 ? ?na ,a或稱 是 的極限 , 記作 a ? ?nalim ,nn aa?? ?或 ? ? .na a n? ? ?復數列收斂與實數列收斂的關系 l i m , l i m .nnnna a b b==定理 lim nn aa?? ?的充分必要條件是 該結論說明 : 判別復數列的斂散性可轉化為判別 兩 個實數列的斂散性 . 復數項級數 121nnna a a a165。== + + + +229。 LL為復數項級數 .稱 121nn k nkS a a a a== = + + +229。 L為該級數的前 n 項 部分和 . 設 是復數列 , 則稱 ? ? ? ?n n nai????級數收斂與發(fā)散的概念 定義 如果級數 121nnna a a a165。== + + + +229。 LL的部分和數列 收斂于復數 S, 則稱 級數收斂 , ? ?nS這時稱 S為 級數的和 , 并記做 1.nnaS????如果 不收斂，則稱 級數發(fā)散 . ? ?nS復數項級數與實數項級數收斂的關系 定理 級數 收斂的充要 11()n n nnnai??????????條件是 都收斂 , 并且 11, nnnn????????1 1 1.n n nn n nai ??? ? ?? ? ???? ? ?說明 復數項級數的收斂問題 ?兩個實數項級數的收斂問題 級數收斂的必要條件 lim 0 .nn a?? ?定理 如果級數 收斂 , 則 1nna???證明 由定理 條件 知 l i m 0 , l i m 0nnnn??? ? ? ???lim 0 .nn a?? ?重要結論 : 發(fā)散 . 1li m 0nnn naa??? ??? ?于是在判別級數的斂散性時 , 可先考察 lim 0 .nn a?? ?? 定義 設 是復數項級數 , 如果正項 1nna???級數 收斂 , 則稱級數 絕對收斂 . 若 1nna???1nna???絕對收斂級數的性質 定理 若級數 絕對收斂 , 則它收斂 , 1nna???并且成立 11.nnnnaa???????1nna??? 絕對收斂 和 都絕對收斂 . 1nn???? ?1nn???? 發(fā)散，而 收斂，則稱級數 條件收斂 . 1nna???1nna???推論 解 .)1(111)1(1121發(fā)散收斂，發(fā)散， ???????????nnn ninnn?絕對收斂。收斂， ?? ?????????00 0 !)8(!8!8)2(nnn nnnninni?.)2)1((2 1)1()3(111收斂收斂，收斂， ?????????????nnnnnnn inn?例 否絕對收斂？下列級數是否收斂？是? ?? ?????????0 11)2)1(()3(!)8()2()1(1)1(n nnnnninninin.)1(1原級數非絕對收斂收斂，條件又 ?????nnn?1 冪級數的概念 2 冪級數的斂散性 3 冪級數的性質 167。 冪 級 數 為復變函數項級數 . 121( ) ( ) ( ) ( )nnnf z f z f z f z??? ? ? ? ??)()()()( 21 zfzfzfzS nn ???? ?為該級數前 n項的 部分和 . 設 是定義在區(qū)域 D上的復變函數列 , ? ?()nfz稱 冪級數的概念 ?? ????? )()()()( 21 zfzfzfzS n稱為該級數在區(qū)域 D上的 和函數 . 如果對 級數 收斂 , 即 0 ,zD? 01()nnfz???00l i m ( ) ( ) ,nn S z S z?? ?則稱級數 在 點收斂 , 且 是級數和 . 1()nnfz??? 0z 0()Sz如果級數 在 D內處處收斂 , 則稱其在 1()nnfz???區(qū)域 D內收斂 . 此時級數的和是函數 20 0 1 0 2 00( ) ( ) ( )nnna z z a a z z a z z??? ? ? ? ? ? ??20 1 20,nnnnna z a a z a z a z??? ? ? ? ? ??這類函數項級數稱為 冪級數 . 當 或 時 , 110( ) ( ) nnnf z a z z ???? 11() nnnf z a z ???或 的特殊情形 0 0z ?函數項級數的形式為 0( ) ,nna z z? ? ? ?定理 (Abel定理 ) 若級數 在 0nnnaz??? 1 0z ?處收斂，則當 時 , 級數 絕對收斂 。 0nnnaz???1zz?若級數 在 處發(fā)散，則當 時 , 級數 0nnnaz??? 2z 2zz?0nnnaz??? 發(fā)散 . 冪級數的斂散性 收斂圓與收斂半徑 (1) 對所有的正實數都收斂 . 級數在復平面內絕對收斂 . (2) 對所有的正實數都發(fā)散 .