【正文】 nbiiaif x x A f x?? ??設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為： a ? x0 x1 xn ? b ，令 ?xi = xi –xi1 0 0l i m ( ) ( ) dn bii ahiA f x f x x? ??? ? 1m ax iinhx????07:49:44 Numerical Analysis 18 穩(wěn)定性 定義 ：對(duì) ?? 0，若存在 ? 0，使得當(dāng) ( i = 0, 1, … , n) 時(shí)，有 則稱該求積公式是 穩(wěn)定的。 00()nni i i iiiA f A f x ???????()iif f x ???定理 ：若 Ai 0, i = 0, 1, … , n， 則下面的求積公式是穩(wěn)定的 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ?? 證明： P103 07:49:44 Numerical Analysis 19 NewtonCotes 公式 基于等分點(diǎn)的插值型求積公式 ? 積分區(qū)間： [a, b] ? 求積節(jié)點(diǎn)： xi = a + i ? h bahn??? 求積公式： ()0( ) d ( ) ( )nbniiaif x x b a C f x??? ??( ) ( )1 ( ) dbnnii aC l x xba? ? ?0 0 dnnkkih t k tb a i k???????? x a th??? ? 0 01 ( 1 ) ( ) d!!ni nnkkit k tn i n i????? ? ?? ??Cotes 系數(shù) NewtonCotes 求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 20 NewtonCotes 公式 21,21 )1(1)1(0 ?? CCn = 1: ( ) [ ( ) ( )]2ba baf x d x f a Tfb????代數(shù)精度 = 1 梯形公式 代數(shù)精度 = 3 n = 2: 61,32,61 )2(2)2(1)2(0 ??? CCC2( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]6b ababaf x d x f a f f b S??? ? ??拋物線公式 Simpson公式 n = 4: 0 1 2 3 4( ) [ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( )]90babaf x d x f x f x f x f x f x C?? ? ? ? ??科特斯 (Cotes) 公式 4/)( , abhhiax i ?????代數(shù)精度 = 5 07:49:44 Numerical Analysis 21 Cotes 系數(shù)表 ? Cotes 系數(shù)與被積函數(shù) f (x) 及積分區(qū)間 [a, b] 無(wú)關(guān) ? Cotes 系數(shù)可通過查表獲得 07:49:44 Numerical Analysis 22 NC 公式 ? Cotes 系數(shù)具有以下特點(diǎn)： (1) 10)( ???niniC(2) )()( n inni CC ??(3) 當(dāng) n ? 8 時(shí)，出現(xiàn)負(fù)數(shù)， 穩(wěn)定性得不到保證 。而且當(dāng) n 較大時(shí)，由于 Runge現(xiàn)象， 收斂性也無(wú)法保證 。 ? 當(dāng) n ? 7 時(shí)， NewtonCotes 公式是穩(wěn)定的 一般不采用高階的牛頓 科特斯求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 23 NC 公式代數(shù)精度 定理 ：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， NewtonCotes 公式至少有 n+1 階代數(shù)精度 定理 ： n 階 NewtonCotes 公式至少有 n 階代數(shù)精度 證： 只要證明當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，公式對(duì) f (x)＝ xn+1 精確成立。 xxxnffR niiband )( )!1( )(0)1( ??????? ?][ d )(0????? ba nii xxxx = a + t h 20 0 ( ) d nnnih t i t??????t = n s ? ? d )()1(0 021 ? ???? ???? n ninn sinsh ][][ fRfR ??0?][ fR? ?120 0( 1 ) d nnnnih s i s???? ? ???即 07:49:44 Numerical Analysis 24 NC 公式余項(xiàng) ? 梯形公式 (n=1) 的余項(xiàng) 31[ ] ( ) ( )12R f b a f ?? ? ? 39。39。22( 1 ) 101[ ] ( ), ( 1 ) ! 2mm nmmiiibaR f K f K A xmm?????????? ? ? ????? ?? ?( , )ab? ?? Simpson公式 (n=2) 的余項(xiàng) 5( 4 )1[ ] ( )1 8 0 2baR f f ??????????( , )ab? ?? Cotes 公式 (n=4) 的余項(xiàng) 7( 6 )8[ ] ( )9 4 5 4baR f f ??????????( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 25 本講內(nèi)容 ? 復(fù)合求積公式 ? 復(fù)合梯形公式 ? 復(fù)合 Simpson 公式 ? 梯形法的遞推化計(jì)算 ? Romberg 算法基本思想 : 外推技巧 ? Romberg 算法 : 計(jì)算過程 ? Romberg (龍貝格 ) 算法 07:49:44 Numerical Analysis 26 復(fù)合求積公式 ? 提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法 ? 用 復(fù)合公式 ? 用 非等距節(jié)點(diǎn) ? 將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間 ? 在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式 復(fù)合求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 27 復(fù)合梯形公式 ? 將 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中 (i = 0, 1, …, n) n abhhiax i ????? ,復(fù)合梯形公式 111100( ) d ( ) d [ ( ) ( )]2iinnbxiiaxiihf x x f x x f x f x??????? ? ?????11( ) 2 ( ) ( )2niinh f a f x f Tb????? ? ??????? 余項(xiàng) []3 10()12niihR f f ????? ? 39。39。 2 ()12ba hf ???? 39。39。 ( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 28 復(fù)合 Simpson 公式 復(fù)合 Simpson 公式 11211100( ) d ( ) d [ ( ) 4 ( ) ( )]6iinnb x bii ia x aiihf x x f x x f x f x f x???????? ? ? ???? ? ?121101( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )6nniiinih f a f x f x f b S???????? ? ? ???????? 余項(xiàng) []5 1( 4 )0()2880niihR f f ????? ? 4 ( 4 ) ()2880ba hf ???? ( , )ab? ?性質(zhì) ：復(fù)合梯形公式和復(fù)合 Simpson 公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。 07:49:44 Numerical Analysis 29 輸出 s 復(fù)化梯形算法流程圖 h ← (ab)/n s ← f(a) x ← a N k ← 1 kn Y s ← h/2*s 輸入 a, b, n x ← x+h s ← s+2f(x) k ← k+1 f(b) ?算法實(shí)現(xiàn) ?????? ??? ???11)()(2)(2nkk bfxfafhTndxx x?10s i n求07:49:44 Numerical Analysis 30 復(fù)化Simpson算法流程圖 h ← (ab)/n s ← f(a) f(b) x ← a N k ← 1 kn Y s ← h/6*s 輸入 a, b, n 輸出 s x ← x+ s ← s+4f(x) x ← x+ s ← s+2f(x) k ← k+1 ?算法實(shí)現(xiàn) ])()(2)(4)([62011021????????????nkknkkbfxfxfafhSndxx x?10s i n求07:49:44 Numerical Analysis 31 舉例 例： 設(shè) ，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合 simpson公式計(jì)算定積分 ，并估計(jì)誤差。 sin() xfxx?10 ( ) df x x?xi 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 f (xi ) 1 解： 78 0 81( ) 2 ( ) ( ) 0 . 9 4 5 6 9 0 92 T iihT f x f x f x???? ? ? ????? ?? ?4 0 1 3 5 7( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )6 ShS f x f x f x f x f x?? ? ? ? ??? ? ? 9 4 6 0 8 3 )()()()(2 8642 ????? xfxfxfxf07:49:44 Numerical Analysis 32 舉例 誤差估計(jì) 23[ ] ( ) 0 . 4 3 4 1 012TTbaR f h f ? ??? ? ? ?39。39。10s i n( ) co s ( ) dxf x x t tx?? ?11()00d( ) co s ( ) d co s dd2kkkkkf x x t t t x t tx???? ? ???????1()00 1 0 1m a x ( ) m a x co s d2kkxxkf x t x t t?? ? ? ????