【正文】 t = n s ? ? d )()1(0 021 ? ???? ???? n ninn sinsh ][][ fRfR ??0?][ fR? ?120 0( 1 ) d nnnnih s i s???? ? ???即 07:49:44 Numerical Analysis 24 NC 公式余項 ? 梯形公式 (n=1) 的余項 31[ ] ( ) ( )12R f b a f ?? ? ? 39。22( 1 ) 101[ ] ( ), ( 1 ) ! 2mm nmmiiibaR f K f K A xmm?????????? ? ? ????? ?? ?( , )ab? ?? Simpson公式 (n=2) 的余項 5( 4 )1[ ] ( )1 8 0 2baR f f ??????????( , )ab? ?? Cotes 公式 (n=4) 的余項 7( 6 )8[ ] ( )9 4 5 4baR f f ??????????( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 25 本講內(nèi)容 ? 復合求積公式 ? 復合梯形公式 ? 復合 Simpson 公式 ? 梯形法的遞推化計算 ? Romberg 算法基本思想 : 外推技巧 ? Romberg 算法 : 計算過程 ? Romberg (龍貝格 ) 算法 07:49:44 Numerical Analysis 26 復合求積公式 ? 提高積分計算精度的常用兩種方法 ? 用 復合公式 ? 用 非等距節(jié)點 ? 將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間 ? 在每個小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式 復合求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 27 復合梯形公式 ? 將 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中 (i = 0, 1, …, n) n abhhiax i ????? ,復合梯形公式 111100( ) d ( ) d [ ( ) ( )]2iinnbxiiaxiihf x x f x x f x f x??????? ? ?????11( ) 2 ( ) ( )2niinh f a f x f Tb????? ? ??????? 余項 []3 10()12niihR f f ????? ? 39。 2 ()12ba hf ???? 39。 ( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 28 復合 Simpson 公式 復合 Simpson 公式 11211100( ) d ( ) d [ ( ) 4 ( ) ( )]6iinnb x bii ia x aiihf x x f x x f x f x f x???????? ? ? ???? ? ?121101( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )6nniiinih f a f x f x f b S???????? ? ? ???????? 余項 []5 1( 4 )0()2880niihR f f ????? ? 4 ( 4 ) ()2880ba hf ???? ( , )ab? ?性質(zhì) ：復合梯形公式和復合 Simpson 公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。 sin() xfxx?10 ( ) df x x?xi 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 f (xi ) 1 解： 78 0 81( ) 2 ( ) ( ) 0 . 9 4 5 6 9 0 92 T iihT f x f x f x???? ? ? ????? ?? ?4 0 1 3 5 7( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )6 ShS f x f x f x f x f x?? ? ? ? ??? ? ? 9 4 6 0 8 3 )()()()(2 8642 ????? xfxfxfxf07:49:44 Numerical Analysis 32 舉例 誤差估計 23[ ] ( ) 0 . 4 3 4 1 012TTbaR f h f ? ??? ? ? ?39。10s i n( ) co s ( ) dxf x x t tx?? ?11()00d( ) co s ( ) d co s dd2kkkkkf x x t t t x t tx???? ? ???????1()00 1 0 1m a x ( ) m a x co s d2kkxxkf x t x t t?? ? ? ????? ?????101 d1kttk?? ??4 ( 4 ) 6[ ] ( ) 0 .2 7 1 1 02880SSbaR f h f ? ??? ? ? ?例 3（ P108） 07:49:44 Numerical Analysis 33 舉例 例 4(P104)： 計算定積分 用復合梯形公式和復合 simpson公式時， n 分別取多大時才能使得誤差不超過 ? 105 10 dxex?解： () xf x e?()0 1 0 1m ax ( ) m axkxxxf x e e? ? ? ???要使誤差不超過 ? 105 ，需要 2511 101 2 2en??? ?????? ? 取 n=213 213 等分 22 1[ ] ( )1 2 1 2TTb a eR f h fn?? ??? ? ?????39。復合梯形公式 07:49:44 Numerical Analysis 34 舉例 復合 simpson公式 44 ( 4 ) 1[ ] ( )2 8 8 0 2 8 8 0SSb a eR f h fn?? ??? ? ?????要使誤差不超過 ? 105 ，需要 3 .7 1n ? 故取 n=4 4511 102 8 8 0 2en??? ?????? 8 等分 07:49:44 Numerical Analysis 35 Romberg 算法 太 大 利用復合梯形公式、復合 simpson公式、復合 Cotes公式等計算定積分時， 如何選取步長 h ？ 計算精度難以保證 太 小 增加額外的計算量 解決辦法：采用 變步長算法 通常采取將區(qū)間 不斷對分 的方法，即取 n = 2k ，反復使用復合求積公式 ，直到所得到的計算結(jié)果滿足指定的精度為止。 10 0 1 11 ( ) d ( ) ( )f x x A f x A f x? ???解： 將 f (x)＝ 1, x, x2, x3 代入求積公式，使其精確成立，可得 010 0 1 1220 0 1 1330 0 1 120 2 / 30AAA x A xA x A xA x A x???????????? ???易驗證該公式對 f (x)＝ x4 不精確成立， 所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 0(( ) d ( )) nbiiaixf x x A f x??? ??證明 : P119 07:49:44 Numerical Analysis 53 Gauss 點 證明： x0 … xn 為 Gauss 點 設(shè) p(x)?Hn ， 則 p(x)?n+1(x) ?H2n+1 110( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0nbn i i n iaix p x x d x A p x x? ? ????????“?” 0()n iiiA p x?? ?設(shè) 1( ) ( ) ( ) ( )np x x q x r x? ???1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b bna a ax p x d x x x q x d x x r x d x? ? ? ????? ? ?00 ( )n iiiA r x??? ?0( ) ( ) ( )nb iiaix f x d x A f x??? ??代數(shù)精度 ? 2n+1 要證 xi 為 Gauss 點，即公式對 ? p(x)? H2n+1精確成立 “ ?” p(x), r(x)?Hn ① 正交性 ② 公式是 插值型 的 將 li(x) 為代入即可得 Ai 的表達式。 10 0 1 10 ( ) d ( ) ( )x f x x A f x A f x???解： 易知 是 [0, 1] 上的權(quán)函數(shù) ()xx? ?具有最高代數(shù)精度的機械求積公式是 Gauss 型公式 22 0 1( ) ( ) ( )x x x x x x bx c? ? ? ? ? ? ?設(shè) 節(jié)點 x0 , x1 是 Gauss點 ?2(x) 與 1, x 帶權(quán)正交 120120( ) d 0 ( ) d 0x x xx x x x??? ???? ?????1 0 5, 9 2 1bc? ? ?令 ?2(x) = 0, 解得 899, 212xx??07:49:44 Numerical Analysis 56 舉例 將 f (x)＝ 1, x 代入求積公式，使其精確成立，可得 101 010 0 1 1 0 d 2 / 3 d 2 / 5A A x xA x A x x x x? ? ? ???? ? ? ???? 6 , 1AA??求積公式為 10 ( ) d 0 . 2 7 7 6 ( 0 . 2 8 9 9 ) 0 . 3 8 9 1 ( 0 . 8 2 1 2 )x f x x f f???07:49:44 Numerical Analysis 57 余項 (參看 P120) 設(shè) p2n+1(x) 是 f(x) 在節(jié)點 x0, x1, ?, xn 上的 2n+1 次 Hermite 插值多項式 , 即 21 ( ) ( ) ,n i ip x f x? ? 2139。( )n i ip x f x? ?( 2 2 )22 1 10()( ) ( ) ( ) d( 2 2 ) !nn bxi n i naifA p x x x xn??? ?????? ?? ?( 2 2 )22 1 1()( ) ( ) ( )( 2 2 ) !nxnnff x p x xn? ?????? ?( 2 2 )22 1 1