【正文】 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 0( ) , ( ) ( 0 , 1 , , ) , | ( ) ( ) | [ ( ) ] .k k k k knn n k k kkf x f x f k nI f I f A f x f???? ? ?? ? ??若 有 誤 差 即則 有 0 0 , 0 ,( ) ( 0 , , ) , | ( ) ( ) | [ ( ) ( ) ] ,.kknn n k k kkf x f k nI f I f A f x f x?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ??若只 要 就 有則 稱 求 積 公定 ：式 是 穩(wěn) 定 的義第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 0 0 , 1 , , ) ,.k n?若 求 積 公 式 中 系 數(shù) A （ 則 求 積 公 式 是 穩(wěn) 定 的定 理00( ) ( 0 , , ) ,| | ( ) ( ) ( ) .kknnn k k k kkkf x f k nR w f x f x w b a?????? ? ?? ? ? ? ??? 因 為 當(dāng) 時有第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 牛頓－柯特斯公式是指 等距節(jié)點 下使用 拉格朗日插值 多項式建立的 數(shù)值求積公式 。 1 牛頓－柯特斯求積公式 一、牛頓－柯特斯求積公式 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ],[)( baCxf ?設(shè)函數(shù)為插值多項式及余項分別的 L a g r a n g exf )(???nkkkn xlxfxL0)()()( )()!1( )()( 1)1(xnfxR nnn ???? ??而 )()()( xRxLxfnn ??因此對于定積分 ?? ba dxxffI )()(第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ? ?? ba nn dxxRxL )]()([有 ?? ba dxxffI )()(? ??? bankkk dxxlxf0)()( ?? ba n dxxR )(???nkkk xfA0)( ??ba n dxxR )(?? ba kk dxxlA )(其中 dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 )()()( nn IRfIfI ??即有 )()( fIfI n????nkkkn xfAfI0)()(?? ba nn dxxRIR )()(n階牛頓－柯特斯求積公式 牛頓－柯特斯公式的余項 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ?? ba kk dxxlA )( dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0thax ??假設(shè) ],[ bax ?由 ],0[ nt ?可知kAdxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0dthhjkhjtnkjnj??????????????? ? ????00 )()(dtjtknkh nkjnjkn? ???????????00)()!(!)1(等距節(jié)點時 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 dtjtknknabnkjnjkn? ?????????????00)()!(!)1()()()(? nkk CabA ??????nkkkn xfAfI0)()( ????nkknk xfCab0)( )()(所以牛頓 柯特斯公式化為 稱為 Cotes系數(shù) 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 … … … … … … ()nkC列出柯特斯系數(shù)表開頭的一部分 下 表 41 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 二、 偶數(shù)階求積公式的代數(shù)精度 定理 當(dāng)階數(shù) n為偶數(shù)時，牛頓－柯特斯公式 至少有 n+1次代數(shù)精度。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 三、 低階牛頓－柯特斯公式及其余項 abhbxaxn ????? ,1 10則取dtt? ??? 10 )1()1(0C柯特斯 系數(shù)為 21?dtt?? 10)1(1C 21?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 )(1 fI ????10)1( )()(kkk xfCab)]()([2 10 xfxfab ???上式稱為 梯形求積公式 ,也稱 兩點公式 ，記為 )]()([2 )( bfafab ???)(1 fIT ?求積公式為 梯形公式具有 1次 代數(shù)精度 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 dxbxaxfba? ????? ))((2 )( ?dxbxaxf ba? ????? ))((2 )(? ),( ba??6)(2)( 3abf ????? ?)(12 )(3?fab ?????梯形公式的余項為 TIR T ?? 1 ?? ba dxxR )(1第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 2,2,2 210abhbxabxaxn ??????? 則取柯特斯 系數(shù)為 dtttC ? ??? 20)2(0 )2)(1(41 61?dtttC ? ??? 20)2(1 )2(2 1 64?dtttC ? ?? 20)2(2 )1(41 61?求積公式為 )(2 fI ????20)2( )()(kkk xfCab第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 )]()2(4)([6 bfbafafab ?????2 ()If記 為 S ＝稱為 辛普森求積公式 ，也稱 三點公式 或 拋物線公式 辛普森公式的余項為 )(2IRR S ? ??ba dxxR )(2)()2(180 )4(4 ?fabab ????辛普森公式具有 3次代數(shù)精度 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 4,4,1,0,4abhkkhaxnk?????? ?則取柯特斯 系數(shù)為 dtttttC )4)(3()2)(1(!44 1 40)4(0 ?????? ? 907?dtttttC )4)(3()2(!34 1 40)4(1 ?????? ? 9032?dtttttC )4)(3()1(!2!24 1 40)4(2 ?????? ? 9012?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 dtttttC )4)(2()1(!34 1 40)4(3 ?????? ? 9032?dtttttC )3)(2()1(!44 1 40)4(4 ?????? ? 907?求積公式為 )(4 fI ????40)4( )()(kkk xfCab)](907)(9032)(9012)(9032)(907)[( 43210 xfxfxfxfxfab ??????第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 0 1 2 3 4[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) ]90baC f x f x f x f x f x?? ? ? ? ?上式稱為 柯特斯求積公式 ，也稱 五點公式 柯特斯公式的余項為 )( 4IRR C ? ?? ba dxxR )(4 )()4(945)(2 )6(6 ?fabab ????柯特斯公式具有 5次代數(shù)精度 . 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 例 : 用 n=2和 n=3的牛頓 柯特斯公式 解： 求 的近似值。 2 復(fù)合求積法 復(fù)合求積公式 余項及收斂的階 算法設(shè)計 步長的自動選擇 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ?NewtonCotes積分公式 ()nkC C ot e s 稱 為 系 數(shù) 。 b a y x 0 f(a) f(b) y=f(x) 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ?低階 NewtonCotes積分 公式 n=2：辛普森公式及其余項 [ ( ) 4 ( ) ( ) ]62b a a bf a f f b??? ? ?()2If辛普森公式具有 3次代數(shù)精度 ],[ ba?? 4 ( 4 )( ) ( ) ( )1 8 0 22b a b aR I f ????? ，b a y x 0 f(a) f(b) y=f(x) (a+b)/2 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ?低階 NewtonCotes積分 公式 n=4：柯特斯公式及其余項 0 1 2 3 4[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) ]90ba f x f x f x f x f x?? ? ? ? ?()4If柯特斯公式具有 5次代數(shù)精度 ],[ ba?? 6 ( 6 )2 ( )( ) ( ) ( )9 4 5 44b a b aR I f ????? ，第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ?NewtonCotes積分 法的穩(wěn)定性 8n ?當(dāng) 時 ， 牛 頓 － 柯 特 斯 公 式 都 是 穩(wěn) 定 的 ，()8 Co te s nknC?當(dāng) 時 ， 系 數(shù) 出 現(xiàn) 負(fù) 數(shù) ， 公 式 可 能 不 穩(wěn) 定因此，實際應(yīng)用中常用低階 NewtonCotes公式， 即：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式。 復(fù)合求積法 1()kkxx f x dx?? 第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 ( ) [ , ]ba f x d x a b n?將 定 積 分 的 積 分 區(qū) 間 分 割 為 等 份 ，, 0 , 1 , , , ( ) ,kx a k h k n h b a n? ? ? ? ?各 結(jié) 點 為1. 復(fù)合求積公式 復(fù)合求積公式 由定積分的區(qū)間可加性得： ( ) ( )baI f f x d x? ? ? ?????101 )(nkxxkkdxxf （ 1. 1）第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 復(fù)合求積公式 1 ()kkxx f x d x??積 分 公 式 計 算 ， 可 得 到 不 同 的 復(fù) 合 積 分 法 。1[ , ] ( 0 , 1 , , 1 )kkx x k n? ??在 子 區(qū) 間 上 ， 用 不