【正文】 ) ( ( ) ) 0bbnmanax g x g x dxx g x dx????? ????? ?0{ ( )}kkgx ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 定義 3 若 n次多項式 中含 項的系 數(shù)為 ，則稱 為 的 首次系數(shù) ； 時，稱 為 首次系數(shù)為 1的 n次多項式 。 ()ngx nxnd nd ()ngx0nd ? * ()() nnngxgxd?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 正交多項式有如下性質(zhì) : 性質(zhì) 1 若 是區(qū)間 [a,b]上帶權(quán) ?(x)的正 交多項式序列，則它們線性無關(guān)。 證 對任意的 x?[a,b],若 ，在式子 兩邊同乘 ?(x)gl(x)(l=0,1,..n), 并從 a到 b積分 , 由 的正交性定義 2中的 (3)可知必有 l=0,1,..,n. 故正交多項式序列 線性無關(guān)。 0{ ( )} nkkgx ?0( ) 0nkkkc g x???0{ ( )} nkkgx ?0lc ?0{ ( )} nkkgx ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 由性質(zhì) 1可知 ,若 為 [a,b]上帶權(quán) ?(x)的 正交多項式序列，則序列 可以作為空間 的一組基函數(shù) ,即 中的任一元素 可由它們線性表示： 其中 為組合系數(shù)。 0{ ( )} nkkgx ?0{ ( )} nkkgx ?[ , ]nP a b [ , ]nP a b()npx0( ) ( )nn k kkp x a g x?? ?0{}nkka ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 性質(zhì) 2 若 為 [a,b]上帶權(quán) ?(x)的正交多 項式序列 ,且 ,則 0{ ( )}kkgx ??( ) [ , ]nq x P a b? (1) (2) 事實上 ,由性質(zhì) 1, . 由 的正交性定義容易證得 (1). 證 (2)也是類似的 . 0( ) ( )nkkkq x a g x?? ?{ ( )}ngx( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . .b ka x q x g x d x k n n? ? ? ? ??( ) ( ) 0 , 0 , 1 , 2 , . . . , 1b ina x g x x d x i n? ? ? ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 Gauss型求積公式 由 引理 1和 定義 1可知， n點的求積 公式 (1)若具有最高的代數(shù)精確度，即 具有 2n1次的代數(shù)精確度，為 Gauss型 求積公式 . 求積公式 (1)的求積節(jié)點 和 求積系數(shù) 如何選取 ,才能使之 成為 Gauss型求積公式 ? 1{}nkkx ?1{}nkkA ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 定理 1 求積公式 (1)中的 n個求積節(jié)點 ,取為 區(qū)間 [a,b]上帶權(quán)函數(shù) ?(x)的 n次正交多項式 的 n個根，則求積公式 (1)為 Gauss型求積公式。 證 設(shè) 。 [a,b]上帶權(quán)函數(shù) ?(x)的 1{}nkkx ?()ngx21( ) [ , ]nf x P a b??n次正交多項式 的 n個根記為 ,記 其首項系數(shù)為 .由定義 3有 因此 , (5) 其中 . ()ngx 1{}nkkx ?nd*1()( ) ( )n nnkk ngxg x x xd?? ? ??*( ) ( ) ( ) ( ) ,nf x q x g x r x??1( ) , ( ) [ , ]nq x r x P a b??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 在 (5)式兩邊同乘 ?(x),并從 a到 b積分 . 由正交多項式的性質(zhì)可知 ,含 項的積分為零 ,所以 (6) 注意到當(dāng) 作為插值節(jié)點時建立的 n點插值 1{}nkkx ?* ( ) ( )ng x q x( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x r x d x?? ???求積公式 至少具有 n1次代數(shù)精確度 ,而 , 所以 (7) 1( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?1( ) [ , ]nr x P a b??1( ) ( ) ( )nk k nkI r A r x I r????第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 又由 (5)式可知 , 即 (8) 綜合 (6),(7),(8)式可知 ,當(dāng) 時 ,求積 公式 (1) 成立 . 因此公式 (1)具有 2n1次代數(shù)精度，為 Gauss型求積公式。 ( ) ( ) ( 1 , 2 , ..., )kkf x r x k n??( ) ( )nnI f I r?21( ) [ , ]nf x P a b??1( ) ( ) ( )nbkkakx f x d x A r x??? ?? ???nkkk xfA1)(第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 用 n點 Gauss求積公式 (9) 之值近似積分值 ，有下面的誤差估計 . 定理 2 若 ,則 Gauss型求積 公式 (1)的誤差估計 R(?,f)為 其中 定理 3 Gauss型求積公式的求積系數(shù) 大于零 . 1( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?()nIf2( ) [ , ]nf x C a b?2*2()( , ) ( ) [ ( ) ]( 2 ) !n bnafR f x g x d xn???? ?*1( ) ( )nnkkg x x x????1{}nkkA ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 前面討論了復(fù)合求積公式的收斂性問題． Gauss型求積公式的收斂性由下面的定理給出 . 定理 4 若 f(x)?[a,b],則 Gauss型求積公式 所求積分值序列 收斂于積分值 I(f),即 1{ ( ) ( ) }nn k kkI f A f x?? ?1l im ( ) ( ) ( )n bkk ankA f x x f x d x??? ??? ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用 定理 1實際上給出了構(gòu)造 Gauss型求積公式的一種方法。 給定 [a,b]和 ?(x) ，構(gòu)造 n個點的 Gauss求積公式 ： 先求出區(qū)間 [a,b]上帶權(quán)函數(shù) ?(x)的 n次正交多項式 , 然后用多項式求根的方法求出 的 n個根 , 從而獲得了求積節(jié)點 ()ngx()ngx 1{}nkkx ?1{}nkkx ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 為了求得求積系數(shù) ,將 n個求積節(jié)點 代入方程組 (4)中的前 n個方程并加以求解 , 即解線性代數(shù)方程組 1{}nkkA ? 1{}nkkx ?求得系數(shù) ,完成 Gauss型求積公式的構(gòu)造 . 1{}nkkA ?1 2 01 1 2 2 11 1 2 2nnnm m mn n mA A AA x A x A xA x A x A x???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 例 1 求 使求積公式 具有三次代數(shù)精確度 . 問題是構(gòu)造區(qū)間 [0,1]上帶權(quán)函數(shù) 的兩點 Gauss型求積公式 . 解 方法 1 容易計算出當(dāng) 時 的積分值分別為 所求 公式具有 3次代數(shù)精確度 . 1 2 1 2, , , ,A A x x11 1 2 20 ( ) ( ) ( ) ( , )x f x d x A f x A f x R x f? ? ??()xx? ?23( ) 1 , , ,f x x x x?10 ()x f x d x? 2222,3 5 7 9第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 故可得 為未知數(shù)的方程組為 (1) (2) (3) (4) 又因為 為 Gauss型求積公式的求積節(jié)點 , 所以它們是區(qū)間 [0,1]上帶權(quán)函數(shù) 且 首項系數(shù)為 1的二次正交多項式 的兩個根 . 121 1 2 2221 1 2 2331 1 2 22/32/52 / 72/9AAA x A xA x A xA x A x???????????? ???12,xx()xx? ?*2()gx1 2 1 2, , , ,A A x x第四章 數(shù)值積分與微分 《計算機數(shù)值方法》 不妨記 ,為此 又因為 必須滿足方程 (2)(3)(4),所以 *22 ()g