【正文】 … … … … ()nkC列出柯特斯系數表開頭的一部分 下 表 41 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 二、 偶數階求積公式的代數精度 定理 當階數 n為偶數時，牛頓－柯特斯公式 至少有 n+1次代數精度。 在牛頓－柯特斯公式中， n=1,2,4 時的 公式是最常用、也最重要的三個公式； 通常稱為 低階公式 。 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 三、 低階牛頓－柯特斯公式及其余項 abhbxaxn ????? ,1 10則取dtt? ??? 10 )1()1(0C柯特斯 系數為 21?dtt?? 10)1(1C 21?第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 )(1 fI ????10)1( )()(kkk xfCab)]()([2 10 xfxfab ???上式稱為 梯形求積公式 ,也稱 兩點公式 ，記為 )]()([2 )( bfafab ???)(1 fIT ?求積公式為 梯形公式具有 1次 代數精度 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 dxbxaxfba? ????? ))((2 )( ?dxbxaxf ba? ????? ))((2 )(? ),( ba??6)(2)( 3abf ????? ?)(12 )(3?fab ?????梯形公式的余項為 TIR T ?? 1 ?? ba dxxR )(1第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 2,2,2 210abhbxabxaxn ??????? 則取柯特斯 系數為 dtttC ? ??? 20)2(0 )2)(1(41 61?dtttC ? ??? 20)2(1 )2(2 1 64?dtttC ? ?? 20)2(2 )1(41 61?求積公式為 )(2 fI ????20)2( )()(kkk xfCab第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 )]()2(4)([6 bfbafafab ?????2 ()If記 為 S ＝稱為 辛普森求積公式 ，也稱 三點公式 或 拋物線公式 辛普森公式的余項為 )(2IRR S ? ??ba dxxR )(2)()2(180 )4(4 ?fabab ????辛普森公式具有 3次代數精度 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 4,4,1,0,4abhkkhaxnk?????? ?則取柯特斯 系數為 dtttttC )4)(3()2)(1(!44 1 40)4(0 ?????? ? 907?dtttttC )4)(3()2(!34 1 40)4(1 ?????? ? 9032?dtttttC )4)(3()1(!2!24 1 40)4(2 ?????? ? 9012?第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 dtttttC )4)(2()1(!34 1 40)4(3 ?????? ? 9032?dtttttC )3)(2()1(!44 1 40)4(4 ?????? ? 907?求積公式為 )(4 fI ????40)4( )()(kkk xfCab)](907)(9032)(9012)(9032)(907)[( 43210 xfxfxfxfxfab ??????第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 0 1 2 3 4[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) ]90baC f x f x f x f x f x?? ? ? ? ?上式稱為 柯特斯求積公式 ，也稱 五點公式 柯特斯公式的余項為 )( 4IRR C ? ?? ba dxxR )(4 )()4(945)(2 )6(6 ?fabab ????柯特斯公式具有 5次代數精度 . 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 例 : 用 n=2和 n=3的牛頓 柯特斯公式 解： 求 的近似值。 dxe x? ?3121. n=2時 ： 76 6575 50 )4(62 232221312 ???? ????? eeedxex2. n=3時 )33(82 23676521312 ????? ????? eeeedxex7 6 6 9 1 6 2 7 ?（ 的精確值為 ） dxe x? ?312第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 167。 2 復合求積法 復合求積公式 余項及收斂的階 算法設計 步長的自動選擇 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 ?NewtonCotes積分公式 ()nkC C ot e s 稱 為 系 數 。?? ba n dxxR )(( ) ( )baI f f x d x? ? ????nkknk xfCab0)( )()(( ) ( ) ( )bn n naR I R x d x I f? ? 是 數 值 積 分 的 余 項 ，()0( ) ( ) ( ) ( )nnn k kkI f b a C f x I f??? ? 為 積 分 的 近 似 值 ，第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 ?低階 NewtonCotes積分 公式 n=1, 2, 4 時的 NewtonCotes公式稱為低階公式 n=1：梯形公式及其余項 )]()([2 bfafab ???1 ()If梯形公式具有 1次代數精度 ],[ ba?? 31()( ) ( )12baR I f ?? ???? ， b a y x 0 f(a) f(b) y=f(x) 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 ?低階 NewtonCotes積分 公式 n=2：辛普森公式及其余項 [ ( ) 4 ( ) ( ) ]62b a a bf a f f b??? ? ?()2If辛普森公式具有 3次代數精度 ],[ ba?? 4 ( 4 )( ) ( ) ( )1 8 0 22b a b aR I f ????? ，b a y x 0 f(a) f(b) y=f(x) (a+b)/2 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 ?低階 NewtonCotes積分 公式 n=4：柯特斯公式及其余項 0 1 2 3 4[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) ]90ba f x f x f x f x f x?? ? ? ? ?()4If柯特斯公式具有 5次代數精度 ],[ ba?? 6 ( 6 )2 ( )( ) ( ) ( )9 4 5 44b a b aR I f ????? ，第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 ?NewtonCotes積分 法的穩(wěn)定性 8n ?當 時 ， 牛 頓 － 柯 特 斯 公 式 都 是 穩(wěn) 定 的 ，()8 Co te s nknC?當 時 ， 系 數 出 現 負 數 ， 公 式 可 能 不 穩(wěn) 定因此，實際應用中常用低階 NewtonCotes公式， 即：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式。 高階公式穩(wěn)定性不好，低階公式精度不高 問 題 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 b =xn 函數 y=f(x)上的數據點 a =x0 y x 0 f(a) x1 y1 f(b) y=f(x) x2 xi xi+1 y2 yi yi+1 復合求積法 將積分區(qū)間 [a , b]分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上用低階 公式計算 ，然后對所有子區(qū)間上的計算結果求和，即得到原定積分的近似值，這種方法稱為 復合求積法。 1()kkxx f x dx?? 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 ( ) [ , ]ba f x d x a b n?將 定 積 分 的 積 分 區(qū) 間 分 割 為 等 份 ，, 0 , 1 , , , ( ) ,kx a k h k n h b a n? ? ? ? ?各 結 點 為1. 復合求積公式 復合求積公式 由定積分的區(qū)間可加性得： ( ) ( )baI f f x d x? ? ? ?????101 )(nkxxkkdxxf （ 1. 1）第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 復合求積公式 1 ()kkxx f x d x??積 分 公 式 計 算 ， 可 得 到 不 同 的 復 合 積 分 法 。由 () 式 ， 可 得 到 下 面 的 三 種 的 復 合 求 積 公 式 。1[ , ] ( 0 , 1 , , 1 )kkx x k n? ??在 子 區(qū) 間 上 ， 用 不 同 的1 ()kkxxN e w to n C o te s f x d x?? ?特 別 ， 若 用 低 階 求 積 公 式 計 算 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 x0 x1 xk xk+1 xn 11[ , ] ( )kkxkk xx x f x d x?? ?在 每 個 子 區(qū) 間 上 ， 用 梯 形 公 式 計 算 ， 復合梯形求積公式 ?ba dxxf )( ? ?????101 )(nkxxkkdxxf nT? 復合梯 形公式 ??????101 )]()([21nkkk xfxfh?????? ??? ???)()(2)(211bfxfafhnkk第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 復合梯形求積公式 b =xn a =x0 y x 0 f(a) x1 y1 f(b) y=f(x) x2 xi xi+1 y2 yi yi+1 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 復合辛普森求積公式 kx 12kx ?1kx ?4 4 4 ?ba dxxf )( ? ?????101 )(nkxxkkdxxf nS? 4 4 4 11[ , ] ( )kkxkk xx x f x d x?? ?在 子 區(qū) 間 上 ， 用 辛 普 森 公 式 計 算 ，第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 復合辛普森公式 )]()(2)(4)([61110 21 bfxfxfafh nkknk k???? ?????? ? 復合辛普森求積公式 1110 2[ ( ) 4 ( ) ( ) ]6nkk kkh f x f x f x????? ? ???ba dxxf )( ? ?????101 )(nkxxkkdxxf nS? 第四章 數值積分與微分 《計算機數值方法》 xi+1/2 =xn xi xi+1 x1 b a =x0 y