【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x 0 f(a) y1 f(b) y=f(x) yi yi+1 復(fù)合辛普森求積公式 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 )](7)(32)(12)(32)(7[90 110 434241 ??? ???????? ? knk kkkk xfxfxfxfxfh)](7)(14)](32)(12)(32[)(7[901110 434241 bfxfxfxfxfafnab nkknk kkk??????? ?????? ??? 復(fù)合柯特斯求積公式 ?ba dxxf )( ? ?????101 )(nkxxkkdxxf nC? 11[ , ] ( )kkxkk xx x f x d x?? ?在 子 區(qū) 間 上 ， 用 柯 特 斯 公 式 計(jì) 算 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 2. 復(fù)合求積法的余項(xiàng)及收斂階 復(fù)合求積公式的收斂階 0( ) ( )l im nphI f I f ch?? ?()nI f p則 稱 復(fù) 合 求 積 公 式 是 階 收 斂 的 。0 0 ( ) ( )np c c I f I f? ? ? ? ?若 存 在 及 且 ， 使 其 余 項(xiàng) 滿 足()nIf對(duì) 于 復(fù) 合 求 積 公 式 ，定義 . 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 1, 2, 4 階 牛頓 柯特斯 積分公式的余項(xiàng)分別為： 1()RI )(12 )(3?fab ?????2()RI )()2(180 )4(4 ?fabab ????4()RI )()4(945 )(2 )6(6 ?fabab ????積分區(qū)間 [a, b]上： 積分區(qū)間 [xk , xk+1]上： )(12 2 kfhh ???????)(2180 )4(4kfhh ?????????)(49452 )6(6kfhh ?????????第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 2( ) [ , ]f x C a b?設(shè) 被 積 函 數(shù) ， 則 復(fù) 合 梯 形 公 式 的 余 項(xiàng) 為 ：101m in ( ) ( ) m a x ( )nka x b a x bkf x f f xn ???? ????? ?? ?????由 于 [ , ] ,ab? ?所 以 存 在 使 得????????10)(1)(nkkfnf ??])(12[103???????nkkfh ? ???????103)(12nkkfh ?()1nR f I T?? 復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)及收斂階 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 R1(f ) 是 h的 2階無(wú)窮小量，所以 0l im ( )bnn ahT f x d x???? ?因此復(fù)合梯形公式是 2階收斂的。 于是復(fù)化梯形公式余項(xiàng)為： ),( ba??()1Rf )(12)( 2 ?fhab ????? 復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)及收斂階 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 因此復(fù)合辛普森公式是 4階收斂的。 復(fù)合辛普森公式的余項(xiàng)及收斂階 4( ) [ , ]f x C a b?同 理 ， 若 ， 則 復(fù) 合 辛 普 森 公 式 的 余 項(xiàng) 為 ：4( 4 )( ) ( )1 8 0 22b a hR f f ?? ????????? ?,ab? ?0l im ( )bnn ahS f x d x???? ?R2(f ) 是 h的 4階無(wú)窮小量，所以 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 因此復(fù)合柯特斯公式是 6階收斂的。 復(fù)合柯特斯公式的余項(xiàng)及收斂階 6( ) [ , ]f x C a b?同 理 ， 若 ， 則 復(fù) 合 柯 特 斯 公 式 的 余 項(xiàng) 為 ：6( 6 )2 ( )( ) ( )9 4 5 44b a hR f f ?? ????????? ?,ab? ?0l im ( )bnn ahC f x d x???? ?R4(f ) 是 h的 6階無(wú)窮小量，所以 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 三種復(fù)合求積公式比較 相關(guān)項(xiàng) 復(fù)合公式 余項(xiàng) 收斂階 計(jì)算公式 增加數(shù)據(jù)點(diǎn) 復(fù)合梯形公式 O(h2) 2 很簡(jiǎn)單 0 復(fù)合辛普森公式 O(h4) 4 較簡(jiǎn)單 1 復(fù)合柯特斯公式 O(h6) 6 較復(fù)雜 3 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 例 1. s in xx根 據(jù) 函 數(shù) 的 如 下 數(shù) 據(jù) 表 ，分別用 8階復(fù)合梯形公式、 4階復(fù)合辛普森 公式 和 10s in xI d xx? ?2 階 復(fù) 合 柯 特 斯 公 式 計(jì) 算 的 近 似 值 ，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 0 1 1 )( ii xfx876543210xxxxxxxxxTr apz42133212221112100.xxxxxxxxxSimp????243121141114302104100xxxxxxxxxCotes??????n=8 時(shí)的函數(shù)數(shù)據(jù)表 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 分別由復(fù)合梯形、辛普森、柯特斯公式得： 8T ])1()(2)0([161 71?????kk fxff9 4 5 6 9 0 8 ?4S )]1()(2)(4)0([241 3130 21 fxfxffkkk k???? ???? ?9 4 6 0 8 3 3 ?2C ?)]1(7)(14)](32)(12)(32[)0(7[180 11110 434241 fxfxfxfxffkkk kkk????? ???? ???9 4 6 0 8 3 0 ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 比較三個(gè)復(fù)合公式的計(jì)算結(jié)果： 8T9 4 5 6 9 0 8 ?4S 9 4 6 0 8 3 3 ?2C 9 4 6 0 8 3 0 ?積分的精確值為 ?? 10 s in dxx xI ??精度最高 精度最低 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 3. 步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇 通常情況下 ,定積分的結(jié)果只要滿足所要求的精度即可 [ , ] na b n I而 區(qū) 間 分 割 的 區(qū) 間 數(shù) 越 大 ， 近 似 值 精 度 越 高n同 時(shí) 越 大 ， 運(yùn) 算 量 也 越 大,n但 太 小 運(yùn) 算 量 雖 較 小 但 精 度 可 能 又 達(dá) 不 到 要 求取多大值合理呢？那么 n第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 在實(shí)際計(jì)算中，借助于計(jì)算機(jī)來(lái)完成積分步長(zhǎng) h 的自動(dòng)選擇，即采用 變步長(zhǎng)求積公式 。具體地講，就是將 步長(zhǎng)逐次折半 ，反復(fù)利用復(fù)合求積公式，直到滿足精度要求為止。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 逐次將區(qū)間 ［ a， b］ 分成 21， 22， ? ， 2m等份 ， 并按復(fù)合拋物線公式逐次計(jì)算積分得到S1， S2， ? ， Sm， 而 1212 2 1 2 20[ ( ) 4 ( ) ( )]3mmm k k kkhS f x f x f x? ????? ? ??其中 2m mbah ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 再把每個(gè)子區(qū)間分成兩半 ,用 2 1122mm mbahh????作步長(zhǎng) ,按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的近似值 S2m。 對(duì)于相鄰兩次的積分近似值 Sm、 S2m， 考察 222mmmmmSSd SSS???? ????當(dāng)｜ S2m｜＜ 1 當(dāng)｜ S2m｜ ≥1 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 設(shè)給定的精度為 ε，若 ｜ d｜＜ ε 則以 S2m作為所要求的積分近似值 ， 否則繼續(xù)將區(qū)間分半 ， 利用復(fù)合拋物線公式求積分 ，直到滿足給定的精度為止 。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 ||1,212, 12212 IIpIhhn ????? 和計(jì)算，取步長(zhǎng)折半 11 , Iabhn 計(jì)算，取 ???否則停止計(jì)算若 , 2II ??? ?||1,214,.2 24424 IIpIhhn ????? 和計(jì)算，取步長(zhǎng)折半否則停止計(jì)算若 , 4II ??? ?依此類推 kII 2, ??? 停止計(jì)算直到 ?以上這種方法稱為 自適應(yīng)求積法。 有時(shí)去掉后 精度會(huì)更高 不同的方法 P取不同值 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 167。 3 龍貝格積分方法 復(fù)合梯形公式的遞推化 龍貝格算法 算法設(shè)計(jì) 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 梯形公式 ,Simpson公式 ,Cotes公式的代數(shù)精度分別為 1次 ,3次和 5次 復(fù)合梯形、復(fù)合 Simpson、復(fù)合 Cotes公式的收斂階分別為 2階、 4階和 6階 在代數(shù)精度和收斂速度方面 , 梯形公式都較差 但梯形公式形式簡(jiǎn)單、計(jì)算量小 有沒(méi)有辦法改善梯形公式呢 ? 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 1. 復(fù)合梯形公式的遞推化 由前面討論可知，加密節(jié)點(diǎn)可以提高求積公式的精度，復(fù)合求積方法對(duì)提高精度是行之有效的，但選擇合適的步長(zhǎng)（即 n的選?。┦莻€(gè)問(wèn)題。 上節(jié)的變步長(zhǎng)方法解決了這個(gè)問(wèn)題，即把區(qū)間逐次二分，反復(fù)利用復(fù)合求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到二分前后兩次積分近似值之差符合精度要求為止。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 等份分割為的積分區(qū)間將定積分 nbadxxfI ba ],[)(??, 0 , 1 , ,kx a k h k n? ? ?nabh ??各節(jié)點(diǎn)為 ])()([2101??????nkkkn xfxfhT復(fù)合梯形公式為 (1) 則不變等份，而分割為如果將 ,/)(2],[ nabhnba ??? ?1, ?kk xx 經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn) )(21121 ?? ?? kkk xxx第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 ?????? ???? )()(2)(4 121 kk