計算方法-數(shù)值積分-插值型積分(編輯修改稿)
2024-09-01 17:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x? ?? ???20f ( 2 )4 f ( 1 )f ( 0 )31f ( x) dx梯形 公式 辛卜生 公式 同學們，自己驗證 某求積公式能對多大次數(shù)的多項式 f(x)成為準確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標。 代數(shù)精度的定義 ：如果求積公式（ ）對于一切次數(shù)小于等于 m的多項式 是準確的，而對于次數(shù)為 m+1的多項式是丌準確的，則 稱該求積公式具有 m次代數(shù)精度。 mm2210 xaxaxaaf ( x ) ????? ?… abA A A n10 ????? ?在公式 ， 令 f(x)=1, x, x2, x3,…,xn 若求積公式（ ）的代數(shù)精度為 n，則其系數(shù) 應(yīng)滿足 : kA2abxAxAxA 22nn1100????? ???????1nabxAxAxA 1n1nnnnn11n00 ?????? ???… … … 其系數(shù) 矩陣 ????????????????nnn1n02n2120n10xxxxxxxxx111???????當 n),0 , 1 ,(kx k ??}{Ak互異時，有唯一解 … … … … … … 定理 n+1個節(jié)點的求積公式 ????n0kkkba)f ( xAf ( x) dx為插值型求積公式 ??公式至少具有 n次代數(shù)精度 。 證 :必要性 .設(shè) n+1個節(jié)點的求積公式 ????n0kkkba)f ( xAf ( x) dxdx( x)lA ba kk ??R ( x )P ( x )f ( x ) ??插值型求積 公式判斷條件 為插值型求積公式，求積系數(shù)為： 又 ，當 f(x)為丌高于 n次的多項式時 , f(x)=P(x), 其余項 R(f)=0。因而這時求積公式至少具有 n次代數(shù)精度。 ??? ???nkj0j jkjk xxxx( x )l n),0 ,1 ,(k ??充分性 ： 若求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 , 則對 n次多項式 精確成立，即 從而 0)(xk 的時候，l而當j1,)(x注意l jkkk ???所以由（ *）和 (**)知： ,即求積公式為插值型求積公式 。 ( x) d xlAba kk ??其中 ))...))...))...))...nk1kk1kk0kn1k1k0k x(xx(xx(xx(xx(xx(xx(xx(x( x)l???????n0jjkjba k)(xlA( x) dxl(*) kn0jjkj A)(xlA ???(**) 重要結(jié)論： ? 梯形公式具有 1次代數(shù)精度； ? 辛卜生公式有 3次代數(shù)精度（ 同學們自己驗證 ）。 ? ?? ???baf ( b)f ( a )2 abf ( x) dx取 f(x)=1，顯然上式兩端相等。 取 f(x)=x, ? ??????? ba 22 右b)(a2 ab)a(b21xdx左取 f(x)=x2 , 右)b(a2 ab)a(b31dxx左 ba22332 ??????? ?所以梯形公式只有 1次代數(shù)精度。 下面以梯形公式為例迚行驗證 Home 插值型求積公式的例子 例 3 試確定一個至少具有 2次代數(shù)精度的公式 ? ???40C f ( 3 )B f ( 1 )A f ( 0 )f ( x ) dx解 : 要使公式具有 2次代數(shù)精度，則對 f(x)=1, x, x2 ，求積公式準確成立，即得如下方程組。 6 4 / 39CB83CB4CBA???????2 0 / 9C,4 / 3B4 / 9 ,A ???解乊得： ? ?2 0 f ( 3 )1 2 f ( 1 )4 f ( 0 )91f ( x) dx40????所求公式為： 插值型求積公式 系數(shù)的值不 1）積分區(qū)間 [a,b]有關(guān)， 2）節(jié)點的選取有關(guān)； 3）和具體的 f(x)無關(guān) 例 4 試確定求積系數(shù) A, B, C，使得 ?? ????1 1 C f ( 1 )B f ( 0 )1)Af (f ( x) d x32CA0CA2CBA????????可驗證，該公式對于 f(x)= x3 也成立 (意外收獲 )，而對 x4 丌成立。因此，該求積公式有 3次代數(shù)精度。 f ( 1 )31f ( 0 )341)f(31f ( x ) dx11????? ??A=1/3, B=4/3, C=1/3 具有最高的代數(shù)精度。 解 :分別取 f(x)=1, x, x2 ，使求積公式準確成
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