數(shù)值計(jì)算方法(第2章)(編輯修改稿)
2025-06-19 00:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的階 ? 證明： ? 滿足壓縮映像原理 知，及由 ???? Cxx )(1|)(| 39。* ??足夠小時(shí)，有? )(1|)(| ????? xLx??????? ???????????|||||)(||)()(||)(| **** xxxxxxxxx 有因此，對(duì)于迭代法收斂的階 ? 斂速是線性的 線性收斂到 。 0)()()(l i ml i m ***1n???????????xxx xxeennnnn ???因?yàn)?。收斂到?*0}{ xx n ?滿足壓縮映像原理，所以即 )(,)( xx ?? ???0}{ nx所以*xSteffensen迭代格式 ? 由線性收斂知 當(dāng) n充分大時(shí)有 即 0l i ml i m 112n ?????????? Ceeeennnnnnnnneeee 112 ??? ?**1*1*2xxxxxxxxnnnn????? ???Steffensen迭代格式 ? 展開有： nnnnnn xxxxxxx????????1221*2)(2**12 1**2 )(2))(( xxxxxxxx nnnn ????? ???2**12 12**2*2 )(2)( xxxxxxxxxxx nnnnnn ?????? ????*12 1*2*2 2 xxxxxxxxx nnnnnn ???? ????2 1212* )2( ???? ????? nnnnnn xxxxxxxSteffensen迭代格式 ? 已知 ，則 ， ? 改成 nx)(1 nn xx ??? ))((2 nn xx ???? nnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy????????2)()()(21?? n=0， 1， 2， … Steffensen迭代格式 ? 也可以改寫成 ? 其中迭代函數(shù) ,... ...)1,0()(1 ??? nxx nn ?xxxxxxx?????)(2))((])([)( 2?????Steffensen迭代法收斂的充要條件 ? 定理 ],[)( **1 ??? ????? ? xxCx ，設(shè)函數(shù)。件是的不動(dòng)點(diǎn)的充分必要條是 )()( *** xxxxx ?? ??，則為足夠小的正數(shù)，且 1)( * ?? x??Steffensen迭代法收斂的充要條件 ? 證明：必要性 的不動(dòng)點(diǎn)，是因?yàn)?)(* xxx ??])(2))(()][([])([ 2 xxxxxxx ????? ?????由于，所以 0))((l i m * ??? xxxx ?，故有 0))((l i m * ??? xxxx ? )( ** xx ??即的不動(dòng)點(diǎn)。是所以 )(* xxx ??Steffensen迭代法收斂的充要條件 ? 充分性 的不動(dòng)點(diǎn)有是由 )(* xxx ??xxxxxxxxxxx ??????? )(2))((])([l i m)]([l i m 2** ?????1)(2)())((]1)(][)([2l i m* ?????????? xxxxxxxxoo??????型0]1)([ ]1)(][)([2l i m 2*****??? ????? xxxxxx ???的不動(dòng)點(diǎn)。是所以 )(* xxx ??Steffensen算法的收斂速度 !)()(l i m}{)(0)(0)(. . .)()(,],[),1()(,)(*)(**1*010*)(*)1(*****pxxxxxxpxxxxxxxxxxpCxxxxppnnnnkkppp????????????????????????????????????????，且階收斂速度收斂到，以列產(chǎn)生的序，由，則而如果為足夠小的正數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)是設(shè)定理Steffensen算法的收斂速度 ? 定理 在定理 ，若 產(chǎn)生的序列 至少平方收斂到 。 , .. . .2,1,02)()()(21????????????????nxyzxyxxyzxyS t e f f e n s e nnnnnnnnnnnn??迭代格式則由 2C)( ??x??0}{ nx *x*xSteffensen算法的收斂速度 的不動(dòng)點(diǎn)，是證明： )(* xxx ?? 。即 )( ** xx ??1)(11)(l i m)(l i m ** **??????????xxxxxxxxooxx???型又因?yàn)镾teffensen算法的收斂速度 *)(2))((l i m* xxxxxxx ???????及)1)(2)())(((l i m*???????xxxxxoo????型1)(2)()( *** ?????? xxx ???2* ]1)([ ??? x?Steffensen算法的收斂速度 *** )()(l i m)(* xxxxxxx ????????于是有**2)(2))((])([l i m* xxxxxxxxxxx ????????????*2*)(2))((])([l i m1*xxxxxxxxxxx???????? ????0]1)([ ]1)([1 2*2*??? ???? xx??Steffensen算法的收斂速度 由定理 至少以平方速度收斂到 。 也就是說(shuō)：簡(jiǎn)單迭代法是線性收斂；Steffensen迭代至少平方以上收斂（加速收斂）。 ?0}{ nx*x例題 ? 例 Steffensen算法求解方程 ? 解法一、取 ，由 013 ??? xx3 1)( ?? xx?nnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy????????2)()()(21?? n = 0， 1， 2， … 例題 ? 取初值 ，計(jì)算結(jié)果如下： 0 ?xN Xn Yn Zn 0 1 2 例題 ? 解法二、取 ，由 ? 對(duì)于該迭代函數(shù)在一般迭代法中是發(fā)散的，而 Steffensen格式卻是收斂的。 1)( 3 ?? xx?nnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy????????2)()()(21?? n=0， 1， 2， … 例題 ? 取初值 ，計(jì)算結(jié)果如下： N Xn Yn Zn 0 1 2 3 4 5 6 ?xSteffen
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