數(shù)值計(jì)算方法三次樣條插值(編輯修改稿)
2025-06-19 07:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ???? 解方程得 ? 將 Mi代入式 )得 ,43210?????????MMMMM32323232 672 231 1 , [ 0 , ] 918 242 851 858 , [ , ]() 017 831 228 720 , [ , ] 927 059 370 461 [ , ]x x xx x x xsxx x x xx x x x? ? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? [ , ]?由于 故 33( 0) 191 8 124 2 285 1 9 858 615 4s ? ? ? ? ? ? ? ?4． 5 曲線擬合的最小二乘法 ? 插值法是用多項(xiàng)式近似的表示函數(shù) ,并要求在他們的某些點(diǎn)處的值相擬合 .同樣也可以用級(jí)數(shù)的部分和作為函數(shù)的近似表達(dá)式 .無(wú)論用那種近似表達(dá)式 ,在實(shí)際應(yīng)用中都要考慮精度 ,所以我們給出最佳逼近的討論 . 最佳平方逼近 ? 定義 設(shè) 稱 為函數(shù) 在區(qū)間 [a,b]上的內(nèi)積 . 其中 為區(qū)間 [a,b]上的權(quán)函數(shù) ,且滿足下面兩個(gè)條件 : ( ) , ( ) [ , ] ,f x g x C a b??? ba xxgxfxgf d)()()(),( ?)(),( xgxf)(x?, .. .2,1,0d)(2,0)(][)1(??? ixxxxbabai 存在，）（零點(diǎn)；并且最多只能有有限個(gè)上，在??容易驗(yàn)證 ,上述定義的函數(shù)內(nèi)積滿足一般內(nèi)積概念中四條基本性質(zhì) . 內(nèi)積的性質(zhì) 是等號(hào)成立。切當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)0,0),(4)。,(),(),(3。),(),(2)。,(),(12121????????fffgfgfgffRgfgffggf???函數(shù)的歐幾里得范數(shù) ? 定義 設(shè) 稱 為函數(shù) f(x)的歐幾里得范數(shù) ,或 2范數(shù) . ( ) , ( ) [ , ] ,f x g x C a b?),(2 fff ?函數(shù)的歐幾里得范數(shù)性質(zhì) 。性質(zhì)性質(zhì)；時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)22222223。20001gfgfRfffff???????????線性相關(guān)的函數(shù)系 ? 定義 設(shè)函數(shù) ,如果存在一組不全為零的數(shù) 使 ( ) [ , ] , ( 0 , 1 , 2 )k x C a b k n? ??k?0 0 1 1( ) ( ) ( ) 0nnx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?成立 ,則稱函數(shù)系 是線性相關(guān)的 ,否則稱 是線性無(wú)關(guān)的 . ? ?0() nk x?? ?0() nk x?線性相關(guān)的函數(shù)系的判定 ? 定理 函數(shù) 在區(qū)間 [a,b]上線性相關(guān)的充分必要條件是 Gramer行列式 ? ?0()nk x?0 0 0 1 01 0 1 1 10101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , , , ) 0( , ) ( , ) ( , )nnnn n n nG? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? 不難證明 在 R上線性無(wú)關(guān) . ? 定理 :函數(shù)系 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 Gramer行列式 . ( ) ( 0 , 1 , 2 , )kk x x k n? ? ? ???? ?0()nk x?01( , , , ) 0nG ? ? ?? ? ? ?最佳平方逼近 ? 定義 設(shè)函數(shù) 及函數(shù)系 且線性無(wú)關(guān) . 記 為連續(xù)函數(shù)空 C[a,b]的子空間 ,如果存在元素 滿足 ( ) [ , ]f x C a b?( ) [ , ] ( 0 , 1 , 2 , )k x C a b k n? ? ? ???01{ , , , }nSpan? ? ? ?? ???**0( ) ( )nkkks x x???? ?2 2*222 0in f in f ( ) [ ( ) ( ) ] ( 4 . 5 . 5 )nbkkasskf s f s x f x x d x?? ? ? ????? ? ? ? ? ??則稱 為 f(x)在 上的最佳平方逼近函數(shù) .且 其中 是法方程 唯一的一組解 . *()sx ?**0( ) ( )nkkks x x???? ?* * *01, , ,n? ? ????02 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , )nbk k jakx f x x x d x j n? ? ? ??? ? ? ? ????? 令 則誤差為 *( ) ( )f x s x? ??2 * * * * *22**20( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )nkkkf s f s f s f f s sf f s f f f????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?特例 ? 取 則法方程為
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