計(jì)算方法課件劉師少第一章數(shù)值計(jì)算方法(編輯修改稿)
2025-06-14 02:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nix ,3,2,1,01 ???nmxx ???? 1021*則稱 為 x的具有 n位有效數(shù)字的近似值， 準(zhǔn)確到第 n位， 是 的有效數(shù)字。 *x *xnxxx ?21.*x 有效數(shù)字 例 5. π的近似值時有幾位有效數(shù)字 解： … = … = m = 1 | |=|… | ＜ ＜ = m –n =1–n =3 所以 n =4， 具有 4位有效數(shù)字 110110110 110110 21 310?例 6. 當(dāng)取 ?的近似值時 ???=?… ?101 ?101? ≤ ?101 =1/2 ? 102 mn=1n=2 所以 n=3具 有 3位 有效數(shù)字 推論 如果 近似數(shù) x*誤差限是某一位的半個單位 , 由該位到 x*的第一位非零數(shù)字一共有 n位 x*就有 n位有效數(shù)字 ,也就是說準(zhǔn)確到該位 再如 ?的近似值時 ? ? ?=? … ??101 ? ≤ ?101 ≤ ? 104 mn=1n=4 所以 n=5 x*= 5位有效數(shù)字 關(guān)于有效數(shù)字說明 ① 用 四舍五入取準(zhǔn)確值的前 n位 x*作為近似值 ,則 x*必有 n位有效數(shù)字。如 ?的近似值 有 4位有效數(shù)字，而 3位有效數(shù)字 ② 有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定 相同。例如，設(shè) x1*=12345,設(shè) x2*=,兩者 均有 5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣 ?x x1* ?=?x 12345? ≤ = 1/2 ? 100 ?x x2* ?=?x ?≤= 1/2?103 ③ 把任何數(shù)乘以 10p(p=0,?1,… )不影響有效位數(shù) ④ 準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字 ,如三角形面積 S=1/2ah= 因?yàn)? ,沒有誤差 ?*=0,因此 n??,準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字 有效數(shù)字與相對誤差 定理 若 近似數(shù) x*=?… xn?10m具有 n 位 有效數(shù)字，則其相對誤差 )1(1* 1021 ???? nr xe)1(111*** 1021101021??????????? nmnmr xxxxxe證 : ∵ x* = ?… xn?10m ∴ ?x*? ≥ x1?10 m1 又 ∵ x*具有 n位有效數(shù)字 ,則 ?x x*?≤1/2 ?10 m n ∴ )1(1* 1021 ???? nr xe 一般應(yīng)用中可以取 ?r*=1/2x1 ?10(n1),n越大 ,?r*越小 , ∴ 有效數(shù)字越多，相對誤差就越小 例 7 取 ?的四舍五入的近似值時，求其 相對誤差 解： = ?101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值 ,其各位都是有效數(shù)字 ∴ n=3 ?r*=1/2x1 ?10(n1)=1/2*3 ?102=17% 有效數(shù)字與相對誤差 例 8 已知近似數(shù) x*有兩位有效數(shù)字，試求其相 對誤差限 解：已知 n=2 代入公式 ?r*=1/2x1 ?10(n1)得 ?r*=1/2x1 ?101 x*的第一位有效數(shù)字 x1沒有給出，可進(jìn)行如下討論：當(dāng) x1=1 ?r*=1/2x1 ?101=1/2*1 ?101=5% x1=9 ?r*=1/2x1 ?101=1/2*9 ?101=% 取 x1=1 時相對誤差為最大，即 5% 有效數(shù)字與相對誤差 有效數(shù)字與相對誤差 定理 若 近似數(shù) x*=?… xn?10m相對誤差 則該近似數(shù)具有 n位有效數(shù)字 證 :∵ x*=?… xn?10m ∴ ? x* ?≤ ( x1+1) ?10m1 nmmn xxxxxxxx ???? ??????????? 102110)1(10)1(21 11)1(1****)1(1* 10)1(21 ?????nr xe由有效數(shù)字定義可知 ,x*具有 n位有效數(shù)字。證畢 例 9 已知近似數(shù) x*的相對誤差限為 %，問 x* 有幾位有效數(shù)字？ 解：由 )1(1* 10)1(21 ?????nr xe)1(110)1(2 11000 3 ????? nx得 ⅰ 當(dāng) x1=1時 ,3?103=1/4?10(n1)?12?103=10(n1) 上式兩邊取以 10為底的對數(shù)得 lg22+lg3+(3)=n+1 ∵ lg2= lg3= 2?+=n ∴ n= ⅱ 當(dāng) x1=9時 ,3?103=1/20?10(n1)? 6?103=10n 上式兩邊取以 10為底的對數(shù)得 lg2+lg3+(3)=n ∴ n= ∴ x*至少有 3位有效數(shù)字 例 10 為使 的近似數(shù)的相對誤差小于 %， 問查開方表時，要取幾位有效數(shù)字？ 解： ∵ 8 9 ∴ x1=8 ∴ (n1)lg2+2lg3+(3) n n ∴ n 取 n =3即查平方表時 ?
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