數(shù)值計(jì)算方法試題與答案(編輯修改稿)
2025-07-22 01:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =(x)在[a,b]上具有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(a)=f(b)=0,求證:解：取， 解：取 則 =0所以 即證證明：、 取 則 所以，證明:證明：取 而， 有n個(gè)不同的實(shí)根。可以寫成 中插值條件的Newton插值 (1) =+(x2)(x2)()+=(2)012313212/3553/25/63/10(x)的數(shù)表如下,求四次Newton插值多項(xiàng)式,并由此計(jì)算f()的值解：F2F3F4F5F6f(x)=+()+()()+()()()()()()()+()()()()()所以 f()==sinx的數(shù)表如下,解：前插：取節(jié)點(diǎn)： (+th)=+**t*(t1)，h= 取t= ()=++= 即sin()=后插： 取節(jié)點(diǎn) (+th)=+*t*t(t+1)，h= 取t= ()=+()()()=,即若h(x)=，其中，為常數(shù)，則 證明:因?yàn)? n=0,1……n 解： =1 12試根據(jù)數(shù)表122311構(gòu)造Hermite 多項(xiàng)式插值解：12 112 0 1 223 2 12 3所以 13給出數(shù)表12324123試求Hermite 多項(xiàng)式插值解：12 224 1 3 424 5 8312： 15設(shè)對(duì)每一個(gè)整數(shù)j, 有計(jì)算,并對(duì)該函數(shù)做一個(gè)差分表解：1234567所以 16 設(shè)函數(shù)取等距樣條節(jié)點(diǎn)。（1）計(jì)算函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，并作解：取 ， + 17給定插值條件數(shù)據(jù)01230000和端點(diǎn)條件(1)，（2）試分別求滿足上述條件的三次樣條插值的分段表達(dá)式解：(1)易知：hi=1 =1/2 =1/2 i=0,1,2,3.由基本方程組： 和 即有： 解出： 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： =當(dāng)時(shí)：（2）因?yàn)? j=0,1,2,3 解出： 由知：18證明函數(shù)，對(duì)任何含0為節(jié)點(diǎn)的分劃都是三次樣條函數(shù)19證明式()線性無(wú)關(guān)習(xí)題五1．求最小二乘擬合直線擬合如下數(shù)據(jù)。(a)2101212334解：由。其中。計(jì)算可得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：(b)42024解：解法同上題。用計(jì)算得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：（c）解：解法同上題。用計(jì)算得，。，該組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合直線為：2．求最小二乘擬合一次、二次和三次多項(xiàng)式，擬合如下數(shù)據(jù)并畫出數(shù)據(jù)點(diǎn)以及擬合函數(shù)的圖形。(a)解：（1）一次最小二乘擬合多項(xiàng)式，做法如題一，，=，該一次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（2）二次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（3）三次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：(b)解：（1）一次最小二乘擬合，做法如題一，，，該一次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（2）二次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：（3）三次最小二乘擬合多項(xiàng)式，設(shè)三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項(xiàng)式為：3．證明正弦函數(shù)組：在點(diǎn)集上線性無(wú)關(guān)。證明：假設(shè)存在使得，成立。由取值于，當(dāng)時(shí)，上述等式顯然成立。當(dāng)時(shí)，由方程組：要判斷函數(shù)組在點(diǎn)集上線性無(wú)關(guān)或線性，由線性代數(shù)知識(shí)，只需判斷上面導(dǎo)出的線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式是否為零即可。系數(shù)行列式為：=（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，分兩種情況：（1）考察行列式的第行和第行元素的關(guān)系易知，…………..，所以我們可以把第行上元素與第行對(duì)應(yīng)元素相加則行列式轉(zhuǎn)化為再將第行對(duì)應(yīng)元素與第行上元素的一半對(duì)應(yīng)相減則行列式轉(zhuǎn)化為最后把第列與第列交換則可把行列式轉(zhuǎn)化為如下的塊對(duì)角行列式，由歸納假設(shè)，所以（2）
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