數(shù)值計(jì)算方法第七章(編輯修改稿)
2025-06-20 00:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ke n 加速方法。有前冪法論證可知 )()(121kkcm??? ?? 其中， c 是與 k 無(wú)關(guān)的常數(shù)。由式（ ）可得 1112111????????????kkkkmmmm 由此可解得 )()2(21222~1kkkkkkkmmmmmmm??????????? ),...,2,1()2(2)()1()2()()1()()2(nivvvvvvvvkikikikikikikii??????????? 冪法的加速收斂方法 定義 設(shè) nnRA ?? ，且nT RxAA ?? ,，且0?x，稱 ( .13) ),(),()(xxxAxxR ? 為 R ay l ei gh 商。特別當(dāng)1),( 22?? xxx時(shí)，式 ( .13) 有更簡(jiǎn)單形式),()( xAxxR ?。 對(duì)稱矩陣 A 的 實(shí)用冪法迭代格式如下： 任取初始向量0)0( ?u,作迭代 )(, . . . )2,1,0(),(ee)()1()()1()()(2)(????????????????kvumAvuuvukkkkkkkkkk 則 1l i m ????kkm )11(l i m21)(?????或??xxvkk 事實(shí)上，由式（ 14 ）知 2)0()0(k2)1k()1k(2)k()k()(. . .uAuAAvAvuuvkk???? 于是由式（ 7. ）有 1211211)()( )(l i ml i m ??? ??????? xxAxxAvvmTkTkkkk 算法 對(duì)稱矩陣實(shí)用冪法。 ( 1) 輸入：? ? ? ? 。,2,1,2,1, ?niunjia iij ?? ?? ( 2)。0。0 ?? mk ( 3)。2112??????? ??niiue ( 4)? ? 。,2,1 nieuv ii ??? ( 5) ? ? 。,2,11nivaunjjiji??? ?? ( 6) ? ? 。,2,11nivumniii??? ?? ( 7) if??? 0mm或????mmm10 t hen 輸出? ?nvm i ,2,1, ?，停止計(jì)算； ( 8) 。1。0 ??? kkmm返回 3 。 例 7 . 用算法 計(jì)算例 7. 所示。 解 由算法 7 . ，取初始向量 Tu )1,1,1()0( ? ，計(jì)算結(jié)果如表 . 3 所示。 表 7 . 例 . 3 計(jì)算結(jié)果 k v( k ) mk 0 3 50 2 69 19 3 50 3 69 19 3 50 2 69 19 6 66 6 66 1 0 00 0 00 00 0 00 0 00 00 0 00 0 00 00 0 00 0 00 2 1 346 339 5 6 0 58 0 79 39 006 77 6 28 7 79 0 90 0 3 1 346 339 5 6 0 58 0 79 39 094 53 3 94 2 80 5 1 1 0 4 6 18 8 21 68 5 03 3 98 38 200 76 4 14 3 51 9 44 9 5 5 04 6 77 30 5 00 3 61 66 605 65 3 68 5 39 0 63 5 6 4 95 0 02 94 9 79 0 95 12 432 90 1 18 5 5 0 5 24 2 7 4 96 7 91 40 8 44 7 61 06 684 16 0 43 5 51 1 99 1 8 4 98 1 29 44 8 44 7 61 45 684 16 0 43 5 51 2 72 6 9 4 98 6 49 84 8 01 6 10 05 662 90 5 20 5 51 2 75 3 由表 7. 知，889 10??? mm，故取 ?? m?，相應(yīng)特征向量取 Tvx )03 1 9 6 6 2 9 0 5 ,54 9 0 8 0 1 6 1 0 ,48 1 0 4 9 8 6 4 9 ()9(1 ???如果將特征向量規(guī)范化，則有 Tx )3 9 4 4 0 2 7 6 ,6 0 5 5 5 5 1 2 ,0 0 0 0 0 0 0 0 (1 ?? 與例 7. 相比，本次計(jì)算結(jié)果精度更理想些。 逆冪法 設(shè)矩陣 nnRA ?? 非奇異，?，x是 A 的一特征對(duì)，即xAx ??。如果0??，則有xxA 11 ?? ? ?，這表明 1??，x是 1?A 的特征對(duì)。如果我們對(duì) 1?A 實(shí)行 冪法 ，則可求出 1??，x，這就是逆冪法。逆冪法主要用于計(jì)算 A 按模最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。 對(duì) 1?A 實(shí)行 冪法 ，則可求出 1?A 按模最大的特征值nn1?? ?和相應(yīng)的特征向量nx，從而求得矩陣 A 按模最小的特征對(duì)n?，nx。 逆冪法 的 迭代格式 如下 ： 任取 初始向量0)0( ?u,作 迭代 ?????????????)(, .. . )2,1,0()m a x ()(1)1()()()(kvAumuvumkkkkkkk 則 )m a x (l i ml i m1)(nnkkkknnxxvm????????? 逆冪法 的 迭代格式 如下 ： 任取 初始向量0)0( ?u,作 迭代 ?????????????)(, .. . )2,1,0()m a x ()(1)1()()()(kvAumuvumkkkkkkk 則 )m a
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