[理學]第七章matlab在數(shù)值分析中的應用(編輯修改稿)
2024-11-12 21:26 本頁面
【文章內容簡介】 d off gtext(39。n=239。),gtext(39。n=439。),gtext(39。n=639。) gtext(39。n=839。),gtext(39。n=1039。) gtext(39。f(x)=1/(1+x^2)39。) 比較不同的插值多項式次數(shù)對插值的影響 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 51012n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的 Lagrange插值多項式的比較圖 Runge現(xiàn)象 結果表明，并不是插值多項式的次數(shù)越高，插值效果 越好，精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高，這種現(xiàn) 象在上個世紀初由 Runge發(fā)現(xiàn)，故稱為 Runge現(xiàn)象。 三、 分段插值法 從上節(jié)可知 ,如果插值多項式的次數(shù)過高，可能產生 Runge現(xiàn)象，因此，在構造插值多項式時常采用分段 插值的方法。 ],[, 11 ?? kkkk xxxx 形成一個插值區(qū)間任取兩個相鄰的節(jié)點構造 Lagrange線性插值 4 3 2 1 0 1 2 3 4101的圖象分段線性插值 )(1 xLy ?的一條折線實際上是連接點niyx kk,1,0,),(??也稱折線插值 ,如右圖 曲線的光滑性較差 在節(jié)點處有尖點 但如果增加節(jié)點的數(shù)量 減小步長 ,會改善插值效果 )(lim 10 xLh ? )(xf?上連續(xù)在若 ],[)( baxf因此 則 分段低次 Lagrange插值的特點 計算較容易 可以解決 Runge現(xiàn)象 但插值多項式分段 插值曲線在節(jié)點處會出現(xiàn)尖點 插值多項式在節(jié)點處不可導 函數(shù)名 功能 interp1 一維插值函數(shù) interpft 利用 FFT的一維插值函數(shù) interp2 二維插值函數(shù) interp3 三維插值函數(shù) interpn 高維插值函數(shù) spline 樣條插值函數(shù) MATLAB 中的插值函數(shù):一維插值： （教材 67頁） 對一維函數(shù) y=f(x)的數(shù)據(jù)進行插值， yi=interp1(x,y,xi,method) (x,y)為輸入的原始數(shù)據(jù)點， x為橫坐標向量， y為縱坐標向量。 x的數(shù)據(jù)必須按單調方式排列。 xi為指定插值點的橫坐標， yi為 xi計算出的插值結果。如果 xi的某元素 xi(i)超出了 x的定義范圍，則相應yi(i)的將取為 NaN。 method用于指定插值的方法，缺省時默認為線性插值法。 四種插值方法列表 method 含 義 特點和用途 linear 線性插值 僅用做連接圖上的數(shù)據(jù)點，速度較快，有足夠精度，最常用 cubic 三次多項式插值 速度較慢，精度高，平滑性好，常作為平滑使用 spline 三次樣條插值 速度最慢，精度最高，最平滑，常作為平滑使用 nearst 最近鄰域插值 速度最快，精度最低 ?例： x=0:10。 y=sin(x)。 xi=0::15。 yi1=interp1(x,y,xi)。 yi2=interp1(x,y,xi, 39。nearst39。)。 yi3=interp1(x,y,xi, 39。spline39。)。 yi4=interp1(x,y,xi, 39。cubic39。)。 subplot(2,2,1)。 plot(x,y, 39。o39。,xi,yi1) title(39。線性插值 39。)。 subplot(2,2,2)。 plot(x,y, 39。o39。,xi,yi2) title(39。最近鄰域插值 39。)。 subplot(2,2,3)。 plot(x,y, 39。o39。,xi,yi3) title(39。三次樣條插值 39。)。 subplot(2,2,4)。 plot(x,y, 39。o39。,xi,yi4) title(39。三次多項式插值 39。)。 從運行的結果來看，對于同樣的數(shù)據(jù)點 ,不同插值方法的結果也不相同。這是因為插值本身就是估計或猜測的過程，應用不同的估計規(guī)則便會導致不同的結果。樣條插值的結果更平滑，但結果未必更精確。 二維函數(shù)插值（教材 68頁） 二維函數(shù)插值是對兩個變量的函數(shù) z=f(x,y)進行插值。其調用的基本格式： zi=interp 2(x,y,z,xi, yi,method)： (x,y,z)為輸入的原始數(shù)據(jù)點， x、 y為兩個獨立的向量，它們數(shù)據(jù)必須按單調方式排列。 z為矩陣 ,是由 x,y確定的點上的值。 xi為指定插值點的橫坐標， yi為指定插值點的縱坐標。函數(shù)插值相同。 例： [x,y]=meshgrid(3::3)。 z=peaks(x,y)。 [xi,yi]=meshgrid(3::3)。 zi=interp2(x,y,z,xi,yi, 39。spline 39。)。 mesh(x,y,z)。 hold on mesh(xi,yi,zi+35)。 hold off 數(shù)值積分 要點 公式近似值的幾個基本求積計算定積分從而導出代替被積函數(shù)將用插值多項式?badxxfxfxP)(),()(?? ba dxxffI )()(對于積分 公式有則由的原函數(shù)如果知道 L e i b n i zN e w t o nxFxf ?),()(?ba dxxf )( )()()( aFbFxF ba ???但是在工程技術和科學研究中，常會見到以下現(xiàn)象： 的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在 )(,)()1( xfxf不是初等函數(shù)如求不出來的原函數(shù) )(,)()()2( xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達式結構復雜 ,)()3( xf以上這些現(xiàn)象， NewtonLeibniz很難發(fā)揮作用 只能建立積分的近似計算方法 這類方法很多，但為方便起見，最常用的一種方法是利用 插值多項式來構造數(shù)值求積公式，具體步驟如下： 上取一組節(jié)點在積分區(qū)間 ],[ babxxxa n ????? ?10次插值多項式的作 nxf )(???nkkkn xlxfxL0)()()(為插值基函數(shù)),1,0)(( nkxl k ??不同的 插值方法 有不同的 基函數(shù) 有的近似作為被積函數(shù)用 ,)()( xfxL n?ba dxxf )( ?? ba n dxxL )(
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