計算方法的課后答案(編輯修改稿)
2025-07-15 20:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解：牛頓迭代法實質(zhì)上是用過點的切線與軸交點的橫坐標來逐步逼近曲線與軸交點的橫坐標,所以牛頓法又叫切線法。22．試證：用牛頓法求方程在內(nèi)的根是線性收斂的。證明：由牛頓迭代公式，可得，顯然，所以該迭代過程是線性收斂的。23．用牛頓法求方程，導出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。解：設，得牛頓迭代公式為，牛頓迭代函數(shù)，，所以該迭代公式收斂。26．正割迭代法的基本思想是什么？具體做法如何？幾何意義是什么？ 解：基本思想：用過兩點，的直線的斜率這個差商來代替牛堆迭代公式中的倒數(shù)。 具體做法：對方程經(jīng)過次迭代后得到近似根，從而取，于是牛頓迭代公式變?yōu)?，此公式為正割法迭代公式。 幾何意義：正割迭代法是用過兩點，的直線與軸交點的橫坐標來逐步逼近曲線與軸交點的橫坐標，因此正割迭代法又叫割線法。27．簡述正割迭代法與牛頓迭代法的區(qū)別。 解：牛頓迭代法在計算時只需要一個初值，在計算只用到前一步的值Xk，但要計算；而正割法在計算時需要兩個初值，在計算時要用到前兩次的迭代值，但不用計算導數(shù)。30．使迭代法加速的方法有哪些？并分別寫出它們的迭代公式。 答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：艾特肯加速公式：校正：再校正： 改進：斯蒂芬森方法：迭代：加速： 第三章 線性方程組的數(shù)值解法1．線性方程組的數(shù)值解法有哪兩大類？并簡述他們的概念。 答：線性方程組的數(shù)值解法有兩大類：（1）直接法 ：直接法就是在沒有舍入誤差的情況下，經(jīng)過有限步算術(shù)運算可求得方程組精確解的算法。 （2）迭代法：迭代法就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，即先給定一個初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更準確值的方法。2．高斯消去法的基本思想是什么？ 答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原來方程組化為與其同解的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了。3．高斯主元素消去法是在何種情況下提出來的？ 答：用高斯消去法解線性方程組的消元過程中，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：第一是主元素全是0的情形，致使消元過程無法進行下去；第二即使主元素不為0，但其絕對值很小時作除數(shù)可能會導致其他元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的傳播，使計算結(jié)果不可靠。所以對于一般矩陣來說，最好每一步選取系數(shù)矩陣中絕對值大的元素作為主元素。4．用高斯順序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程組，并寫出高斯順序消去法的程序。（1） ； （2）。解：（1）將方程組的增廣矩陣進行初等變化，并利用高斯順序消去法得：；利用完全主元素消去法得：；利用列主元素消去法得：（2）將方程組的增廣矩陣進行初等變化，并利用高斯順序消去法得：；利用完全主元素消去法得：；利用列主元素消去法得：。5．用矩陣的三角分解法解下列方程組，并掌握三角分解法的編程思路。（1）； （2）。解：（1）對系數(shù)矩陣作如下的三角分解：。根據(jù)矩陣的乘法可得：，；， ；， 。于是有，則原方程組可表示為。解方程組，即，得。解方程組，即，得。（2）對系數(shù)矩陣作如下的三角分解：。根據(jù)矩陣的乘法可得：，；， ；， 。于是有，則原方程組可表示為。解方程組，即，得。解方程組，即，得。6．用追趕法解下列方程組。（1）； （2） 。解：（1）由得： 。于是有。從而為 ，解得。為，解得。（2）由得： 。于是有。從而為 ，解得。為，解得。7．設，掌握常用向量范數(shù)的定義式。解：；；（又叫最大范數(shù)）；。8．已知，計算。 解：； ； ； 。9．設，掌握常用矩陣范數(shù)的定義式。 解：；；；。10．已知，計算。解：；；；。12．解線性方程組的迭代法有哪三種方法？ 答：（1）雅可比迭代法（Jacobi） （2）高斯賽德爾迭代法（GS） （3）超松弛迭代法（SOR）13．設有方程組（1）寫出用Jacobi迭代法解此方程組迭代公式的分量形式和矩陣形式。（2）Jacobi迭代法是否收斂？為什么？解：該方程組可化為：，從而得到Jacobi迭代法的公式：，其矩陣形式為：，其中：，，（2）用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的。因為系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)陣，所以Jacobi迭代法收斂。14．設有方程組（1）寫出用GS迭代法解此方程組迭代公式的分量形式。（2）GS迭代法是否收斂？為什么？解：該方程組可化為：，從而得到GS迭代法的公式：，（2）用GS迭代法解此方程組是收斂的。因為系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)陣，所以GS迭代法收斂。15．設有方程組怎樣改變方程的順序使Jacobi迭代法和GS迭代法均收斂。 解：將方程組變化成，此時系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)
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