計(jì)算方法的課后答案-資料下載頁
2025-06-18 20:16本頁面
【正文】 的曲線，這里不要求曲線點(diǎn)點(diǎn)通過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但希望曲線能盡量地靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)，這就使誤差按某種標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最小。2．什么是最小二乘原則？什么是曲線擬合的最小二乘法？ 答：通常采用既根據(jù)“是偏差的平方和最小”的原則(稱為最小二乘原則)來選取擬合曲線,稱根據(jù)最小二乘原則來選擇擬合曲線的方法為曲線擬合的最小二乘法。3．已知數(shù)據(jù)表：1234試求最小二乘一次擬合多項(xiàng)式。解：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，建立法方程組： 其中：；，。解得：，所以。4．已知數(shù)據(jù)表： 0123415112553試求次數(shù)不高于4的最小二乘擬合多項(xiàng)式。 解：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，建立法方程組： 其中：；，。解得：，所以得到最小二乘一次擬合多項(xiàng)式。同理可得二次擬合法方程組： ，其中：；，，。解得：，所以得到最小二乘二次擬合多項(xiàng)式。 第六章 數(shù)值積分1．理解數(shù)值積分的基本思想。 答：將用簡單的函數(shù)近似代替是構(gòu)造數(shù)值積分算法的基本思想。2．掌握代數(shù)精度的概念，掌握證明某個求積公式具有次代數(shù)精度的方法。 答 ：若求積公式對能精確成立，但對不精確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。3．試確定求積公式的代數(shù)精度。 解：將代入求積公式的兩邊得：左邊=2=右邊，所以成立。 同理，可將代入求積公式兩邊，公式成立。但將代入其公式不成立。所以，該求積公式具有3次代數(shù)精度。4．證明求積公式具有2次代數(shù)精度。 證明：將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊=右邊；所以該公式具有2次代數(shù)精度。5．確定一個具有3次代數(shù)精度的求積公式 解：由代數(shù)精度的定義，將分別代入公式得： 解得：，該求積公式為：。6．熟練掌握插值型求積公式中求積系數(shù)的求法。 解： 8．用辛普生公式計(jì)算積分，并估計(jì)截?cái)嗾`差。 解：設(shè)，； 由辛普生公式有： 其截?cái)嗾`差為： 。9．用定義確定求積公式中的待定系數(shù)，并指出該公式的代數(shù)精度。 解：由插值型求積公式可知：所以：； ； 。將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊==右邊； 將代入公式兩邊得：左邊=右邊。所以該公式具有3次代數(shù)精度。10．確定求積公式中的代數(shù)系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度。 解：將分別代入公式得： 解得：，該求積公式為：該公式對成立，但對不成立。所以該公式的代數(shù)精度為3次。11．用柯特斯系數(shù)的定義式，計(jì)算四點(diǎn)求積公式中的柯特斯系數(shù)，并寫出四點(diǎn)求積公式。 解：由可得：；；；。12．熟練掌握用復(fù)合梯形公式，復(fù)合辛普生公式以及復(fù)合柯特斯公式求積分。13．應(yīng)用梯形公式和的復(fù)合梯形公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。 解：由梯形公式可得： ； 余項(xiàng)為： 由，可得：，由復(fù)合梯形公式，可得：； 余項(xiàng)為：。14．在用復(fù)合梯形公式計(jì)算時，若要求誤差不超過，至少去多大？ 解：由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)公式得，用該公式計(jì)算的誤差為：，所以當(dāng)時，誤差不超過。15．用的復(fù)合辛普生公式計(jì)算，并作事后誤差估計(jì)。解：由可得，所以各節(jié)點(diǎn)為：，所以，其余項(xiàng)為。16．熟悉用變步長梯形公式求積分以及龍貝格公式的計(jì)算過程。 解：變步長求積公式：， 龍貝格算法的計(jì)算過程為： （1）計(jì)算，和； （2）將區(qū)間分半，計(jì)算，和； （3）分別將區(qū)間，分半，計(jì)算， ， ，進(jìn)而計(jì)算； （4）又將區(qū)間，，分半，計(jì)算，， ，，進(jìn)而計(jì)算。 （5）繼續(xù)將上述小區(qū)間分半，計(jì)算出分點(diǎn)處的函數(shù)值，并分別計(jì)算出 如此反復(fù)可得，直到前后兩個的值之差滿足給定的精度要求為止。18．已知積分，為保證積分有5位有效數(shù)字，問： （1）在使用復(fù)合梯形公式計(jì)算時，至少取多大？ （2）在使用辛普生公式計(jì)算時，至少去多大？解：由，所以由積分有5位有效數(shù)字可得積分的相對誤差限為。（1）由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)可得，要達(dá)到誤差要求即，解得至少取54。（2）由復(fù)合辛普生公式的余項(xiàng)可得，要達(dá)到誤差要求即，解得至少取2。19．試構(gòu)造兩點(diǎn)高斯公式，并由此計(jì)算積分。 解：由2次勒讓德多項(xiàng)式可得，即為高斯點(diǎn)。再由得。所以兩點(diǎn)高斯公式為：。 令，當(dāng)時，當(dāng)時，
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