數(shù)值計(jì)算方法(編輯修改稿)
2024-08-15 03:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 構(gòu)造的函數(shù) Nn(x)就是問(wèn)題 1的解 ,且 ci =f[x0,…, xi] , i=0,1,…,n (9) 公式 (6)稱為函數(shù) f(x)在節(jié)點(diǎn) x0,…, xn上的 n階 Newton插值公式 , (7)式稱為 Newton插值公式余項(xiàng) ,即截?cái)嗾`差 .注意到 ,余項(xiàng)表達(dá)式 (7)只要求被插值函數(shù) f(x)在插值區(qū)間 [a,b]上連續(xù) . 由函數(shù) f(x)的 插值多項(xiàng)式的惟一性 ,函數(shù) f(x) 的 Newton插值多項(xiàng)式與 Lagrange插值多項(xiàng)式實(shí)為同一個(gè)多項(xiàng)式 ,即 Nn(x) ≡ Ln(x) 兩者不過(guò)是表現(xiàn)形式不同而已 .由此有 : 若 f(x)∈C n+1[a,b],則有 Rn(x)= f[x,x0,…, xn]wn+1(x)=, (10)四 差商的性質(zhì)性質(zhì) 1(差商與函數(shù)值的關(guān)系 ) 證明：性質(zhì) 2(對(duì)稱性 )其中 i0,…, ik是 0,1,… k的任排列 .證明 : 由性質(zhì) 1可知 . 性質(zhì) 3(差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ) f(x)∈C k[a,b], , 證明 : 由式 (10)即得 . 性質(zhì) 4(多項(xiàng)式的差商 )設(shè) f(x)為 n次多項(xiàng)式 ,則 其一階差商 是 x的 n1次多項(xiàng)式推論 n次多項(xiàng)式 pn(x)的 k階差商 pn[x0,… xk],當(dāng) k≤n時(shí)是 nk次多項(xiàng)式 ,當(dāng) kn時(shí)恒為 0證明 : 運(yùn)用 Newton插值公式 (6)進(jìn)行計(jì)算時(shí) ,先計(jì)算 f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn) x0,…, xn的各階差商 .計(jì)算過(guò)程如下表所示 .. xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 n 階差商計(jì)算 Nn(x)時(shí) ,常采用 秦九韶算法 ,即 .下面給出 Newton插值法的計(jì)算機(jī) 算法 .開(kāi)始時(shí) ,f(k)存放函
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