計算方法七常微分方程的數(shù)值解法(編輯修改稿)
2025-05-29 05:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 隱 Euler法 首先， 對 (63)右端積分項使用右矩形求積公式，則得 令 上式稱為 隱 Euler公式 ，又稱右 矩形公式 。 (74) ? ?))(,())(,(2))(,( 111 ????? ? nnnntt tutftutfhdttutfnn? ?))(,())(,(2)()( 111 ??? ??? nnnnnn tutftutfhtutu? ?),(),(2 111 ??? ??? nnnnnn utfutfhuuNn ,2,1,0 ??二、梯形法 對 (63)右端的積分使用梯形求積分式計算， 則得 令 上式稱為 梯形公式 ，簡稱 梯形法 ． (65) 將 Euler公式與隱式 Euler公式做算術(shù)平均，也可得出梯形公式 二、梯形法 對 (73)右端的積分使用梯形求積分式計算 ， 則得 令 ? ?),(),(2 111 ??? ??? nnnnnn utfutfhuu Nn ,2,1,0 ?? ， (65) 上式稱為 梯形求解公式 ，簡稱 梯形法 ． )( 1?ntu ? )( ntu ?? ? ?1 ))(,(nntt dttutf ? ?))(,())(,(2 11 ??? nnnn tutftutfh? ?),(),(2 11 ???? nnnnn utfutfhu 梯形公式與 Euler公式相比要精確的多，但是梯形公式的計算量要大一些。每步計算要解一個關(guān)于 的非線性方程，從而要用如下迭代公式： 1?nu? ? ? ?? ?),(),(2 1111knnnnnkn utfutfhuu???? ????,2,1,0?k取初值為 ， 反復(fù)迭代，即 ? ? nn uu ??0 1??1nu01 12 23? ?01?nu ??11?nu ? ?21?nu， ， ， 若序列 收斂于 ，當(dāng) 時，得到： ? ?? ???? 01 kknu ??*1?nu??k? ? ? ?? ?),(),(2*11*1 ??? ??? nnnnnn utfutfhuu則取 為第 個近似值。 1?nu ? ?*1?? nu 1?n如此 迭代 下去 得到迭代序列 ： ? ?knu 1?? ， ， ?? ? ? ? ??? ??? knkn uu 111在實際計算中，通常要求滿足 為終止條件，此時取 作為 的近似值 。 ? ?11??knu )( 1?ntu 1?nu為了避免求解非線性代數(shù)方程，可以用 Euler法將它顯化， (66) ?0u ?1u ?Nu?1u ?2u ?? ?2u Nu),(1 nnnn uthfuu ???? ?),(),(2 111 ??? ??? nnnnnn utfutfhuu00 )( utu ?建立 預(yù)測 —— 校正系統(tǒng) ： 求解
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