【文章內容簡介】 現將與進行比較可知：，故原式是二階的，局部截斷誤差為，局部截斷誤差的首項為。12. 證明：線性二步法，當時方法是二階的，當時方法是三階的。證明：原式變形為，記為（1）式，將，在處分別展開成三階，二階，二階泰勒公式，即：，，將上面三式代入（1）式化簡可得：，記為（2）式，再將在處展開成三階泰勒公式，記為（3）式，將（2）式與（3）式對比，要想具有三階精度則：，即，當時，具有二階精度。13. 求系數a,b,c,d使公式有。解：將，，在處分別展開成四階，三階，三階泰勒公式，即：，，將以上幾式代入原式，整理可得：，對照在處的四階泰勒公式展開式的各階系數，即可求出相應的未知數，解得。14. 對于初值問題的模型方程，求二階RungeKutta方法的穩(wěn)定區(qū)間。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自行解答，在這里只給出結果。結果為：。15. 求系數，使求初值問題的公式有盡可能高的精度，并求其局部截斷誤差首項。解：按照上面幾個題的做法可知：，將以上兩式代入原式化簡可得：，對照在處展開的三階泰勒公式的系數即可得到方程組由于四個方程三個未知數，故解前三個方程即可，解得，，代入說明具有二階精度，局部截斷誤差首項為：。第六章 方程求根一 本章的學習要求（1）能夠熟練的應用牛頓迭代公式。（2）能夠根據要求推導出牛頓迭代公式并求其局部截斷誤差。二 本章應掌握的重點公式（1）牛頓迭代公式：。（2）迭代收斂定理：設迭代過程收斂于方程的根為，若迭代誤差，當時，則稱該迭代過程具有階收斂。三 本章習題解析1. 用二分法求方程在內的近似根，準確到。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自行解答，在這里只給出結果。結果為：。2. 證明用二分法得到的序列為線性收斂。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自行證明。提示：。3. 設有方程，（1）證明該方程在區(qū)間上有唯一根。（2）證明迭代公式對于任意初值都是收斂的，并用此迭代公式求其近似根直到有8位有效數字。證明：（1）由題可知：，且，由零點定理可知：在內有根。下面證唯一性，由高等數學的知識在有，即單調遞增，原命題成立。（2）證明：已知，即，由，所以對任意初值都收斂。同學們可以任選初值進行8次迭代，或上機操作完成。4. 對于，要使迭代公式局部收斂到，求的取值范圍。解：由，可知，由收斂定理：，即，解得：。5. 用迭代法求方程的根，求使迭代序列具有局部平方收斂。證明：已知，故可得：，對求導得：，設是的根，即：，所以上式化簡為：，由題可知原式具有平方收斂，故由，可求得：，一般化為：，記為（1）式，現將（1）式代入可得：，對求二階導，將的根代入得：，由于，所以，由收斂定理知，原命題成立。6. 給定函數設對一切，都存在，且。證明對的任意常數，迭代法均收斂于方程的根。證明：由，即：，所以：，又因為：，所以可放縮為：。又因為：，代入上式，繼續(xù)放縮：，兩邊取負號：，且，即：，等價于，由收斂定理知方程收斂。7. 用Newton法求下列方程的根，準確到四位有效數字。（1）在附近的根；（2）在附近的根。解：本題為上機題。提示：（1）由牛頓迭代公式：，代入化簡可得：，在此任取附的值進行迭代即可。（2）同理。8. 求方程在附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應的迭代公式：（1），迭代公式（2），迭代公式（3），迭代公式 試分析每種迭代公式的收斂性；并選取一種收斂最快的迭代公式求出具有五位有效數字的近似根。解：（1）經驗證取有根區(qū)間為，由已知可得，從而：，在有根區(qū)間內，即迭代公式收斂。（2）（3）同理。9. 用弦截法求下列方程的根，準確到四位有效數字。（1）在區(qū)間內的根；（2）在附近的根。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自行解答，在此只給出結果：（1）。（2）。10. 方程有二重根，用Newton法和分別迭代三次，比較其結果。解：應用Newton法，設，可得：。代入牛頓迭代公式：，即得：，現取初值，進行迭代：。應用迭代公式，則，即，同樣取初值進行迭代：。11. 應用Newton法于方程，導出求的迭代公式，并由此計算的具有四位有效數字的近似值。解：設，所以：，由Newton迭代公式，即：，整理得：，此即為所求的迭代公式。下面求，由已知可知，此時，代入迭代公式，取初值進行迭代：。13. 應用Newton法于方程，導出求的迭代公式，并求。解：（1）由，設。建立牛頓迭代公式：，代入整理：，記為的迭代公式。：，將代入上式最終化簡為：。（2），這里：。，代入上式即可求得原式= 。14. 設具有二階連續(xù)導數，證明迭代公式是二階收斂的。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自行證明，提示：將在點做Tarlor展開到二階，再將公式兩邊同時減去，求極限。第七章 解線性方程組的直接解法一 本章的學習要求（1）會求各種向量范數和矩陣范數。（2）會求普半徑和條將數。（3）能夠將不同類型的矩陣分解成形式并能解該方程組。二 本章應掌握的重點公式（1）矩陣的各種范數：， 。（2）向量的各種范數：。（3）當系數矩陣為對稱矩陣時，普半徑等于二范數。三 本章習題解析1. 用高斯消去法解線性方程組解：將其寫成矩陣形式為：，現對其增廣矩陣進行初等變換化為如下形式：，將其還原，此時求解原方程組的問題就變?yōu)榻猓海獾茫骸?. 給定線性方程組：，已知精確解：。（1）用高斯消去法解此線性方程組；（2）用列主元素消去法解線性方程組。分析：本題被列入上機演算題目，將在最后的程序設計中給出解答。3. 設，經過一步高斯消去法得到，其中，證明：（1）若為對稱矩陣，則也為對稱矩陣；（2）若為對角占優(yōu)矩陣，則也為對角占優(yōu)矩陣。證明：（1）只要證出即可，因為：由為對稱矩陣則上式化為證畢。同理可證（2）。4. 設有方程組，試將系數矩陣分解成一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣之積；即，然后用你的分解解此方程組。解：將寫成的形式即：，利用矩陣的乘法得：，，，，所以可寫成：。下面解此方程組，先解即：，解得：，再解，即：，解得。5. 試推到矩陣的Crout分解的計算公式，其中為下三角矩陣，為單位上三角矩陣。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自行證明，提示：設： ，所以： 。 6. 設為非奇異下三角矩陣，（1）列出逐次代入求解的公式；（2）上述求解過程需要多少次乘除法？證明：（1）設，其中：。解上述方程組可以得到：。（2）計算次數為：次乘除法。7. 用平方根法解方程組。解：因為系數矩陣為對稱正定矩陣，應用平方根法，可分解為即如下形式：，按照矩陣乘法展開與原矩陣對比整理得：，，。先解方程組，即：，解得：，再解，即：，解得：即為方程的解。8. 用追趕法解方程組。解：由題可知：矩陣為三對角占優(yōu)矩陣，由追趕法知：設的分解為：，按照矩陣乘法展開與原矩陣對比可得：，，，，。下面解此方程組，先解，即：，解得：，再解。即：，解得：即為方程的解。9. 設向量，求。解：。10. 設為非奇異矩陣，為的一種向量范數，定義，證明也是的一種向量范數。證明： ，A為非奇異矩陣當且僅當：。齊次性。.。11. 記其中，證明：。證明：，兩邊同時開次方得：，兩邊同時取極限得：。由兩邊夾得：。12. 設，求，。解：，，先解：，由線性代數特征向量的知識可知：，并令上式等于0，解得：，所以：，又因為為對稱矩陣，所以：。13. 設均為非奇異矩陣，表示矩陣的某一種算子范數，證明（1）；（2）。證明：(1) ，變形即：。（2）。14. 設為對稱矩陣，，為的特征值，證明。證明：，又因為為對稱矩陣，故有，所以有：，由，…為的特征值，由線性代數的知識可知：，…是的特征值，且（跡）。 所以：。即：。15. 設，試證明。證明：，兩邊開平方，即：，兩邊同除以，得：。16. 設，按矩陣范數的定義證明是一種矩陣范數。分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣的同學可自