數(shù)值計算方法(第3章)(編輯修改稿)
2025-06-14 02:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 動產(chǎn)生則解都有一個小擾動時和中設(shè)，)(1||||1||||||||)())(()3(11111111,AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAbAAbbxxxbxxxbxxxbxbxbbxxxxbx??????????????????????????????????????????????????||||||||||||||||)(1)(||||||||0||||||||)(||||||||0||)||||||||||||||||(||||||||)(1)(||||||||| | ,| | | |||)(,1||||||||,)(11~AAAAAc o n dAc o n dxxbbbAc o n dxxAbbAAAAAc o n dAc o n dxxAAAc o n dAAAAxxxbAxxRAbbxnn???????????????????????????????????時當時當則如果的解是擾動方程組精確解。的是方程組且非奇異。設(shè)定理 矩陣的條件數(shù) .)(。AAAAC o n d ( A)2121bx的譜條件數(shù)關(guān)于方程組為矩陣稱的條件數(shù)關(guān)于線性方程組為矩陣為非奇異矩陣，稱設(shè)定義bAxAAAAKnn???????為病態(tài)方程組。稱解的相對誤差也大，則大時如果謂良態(tài)方程組；的相對誤差也小，則稱解相對較小時如果與條件數(shù)相關(guān)解的相對誤差直接線性方程組bAxAbAxAbAx???,)c o n d (,)(c o n d,矩陣的條件數(shù)的性質(zhì) 。且為正交矩陣性質(zhì)。其中則性質(zhì)為非零常數(shù)。性質(zhì)。性質(zhì))()()(,1)(,4|)(||,)(|,||||)(3)(c o n d)(c o n d21)(c o n d1m i nm a x11AKAPKPAKPKPAAAkAAcAcAAnnT???????????????相對誤差的事后估計 ? 定理 誤差越小。越小誤差越大；則。則殘余向量的解，記是擾動方程組精確解，的是方程組且非奇異設(shè),)(||||||||,1)(||||||)(||)(||||||||||||||)(||)(1)()1(,~~~~~Ac o n dxxAc o n dbxrAc o n dxxbxrAc o n dxAbxrxxxbAxxRAnn??????????????例題 良態(tài)）。不是太病態(tài)方程所以方程由于因為系數(shù)矩陣例(0 0 0 )(c o n d0 0 0 11bAxAA???????? ???例題 是病態(tài)方程。所以方程由于因為系數(shù)矩陣例bAxAkAAn??????????????139601||||)()(c o n d12?? 解線性方程組的迭代法 fGxx。RRRAbAxxbbxnnnn????????寫成等價方程組將類似非線性方程迭代法有唯一解由線性方程組理論知式且且非奇異其中設(shè)線性方程組)(。)(0,)(* 解線性方程組迭代法概述 ），（作任取初始向量. . .2,1,0. . . . . .)()1()1()2()0()1()0(????????kGGGfxxfxxfxxxkk解線性方程組迭代法概述 的解。也是的解，同時為方程組即則或即是收斂的若向量序列bAxGGfxxxfxxxxxxxkkkkk????????????****)(*)()(0||||l i ml i m}{), . . .2,1(l i m0m a xl i m0||||l i m||||}{, . . . )2,1}({*)()(1**)(*)(nixxxxkikikikinikkkkkxxxxxx???????????????????）（事實上由。收斂到數(shù)依范的充分必要條件是坐標收斂到依向量序列定理review 解線性方程組迭代法概述 。其中，所以即改寫為則方程非奇異其中令唯一解設(shè)方程組綜上所述bMfNMfGxxNMNMMNMAxxxbxxbxxn11T**2*1*,G)()()(,), .. .,()(:?????????????解線性方程組迭代法概述 的解。組為方程是收斂的，且則稱迭代格式若的右端得代入方程任取初始向量)()(l i m)(, . . . )2,1,0()(), . . . ,(**)()()1(0)0(2)0(1)0(xkGxxxxxfxxxkkkkTn????????迭代法的收斂條件 。的充分必要條件是則設(shè)回顧）定理的充要條件是到方程組的解收斂）所產(chǎn)生的序列由式（定理1)(0l i m, . 3(1)(:}{ . *)(???????AkAkRAGnnkxx??迭代法的收斂條件 | | ]||ln/||||| | )||1([ l n||||||||1||||||||,}{,1||||,}{ . 41||||)0()1()0()1()(*)(GxxGkxxGGxxxGGkkkkxx???????????? ，取給且有誤差估計：收斂所以且有估計式的解必收斂到方程組）所產(chǎn)生的序列由式（，則有如果對任一矩陣范數(shù)定理||||| | )||1(||||||||||||||||)()()()1()()()1()()1()1()()1()()()1()()()1()()(xxxxxxxxxxxxxxxxxGfGxfxxkkkkkkkkkkkkkkkkGxxGfGfGxGx???????????????????????????????????證明：||||||G||1||G||. . . . . .||||||G||1||G||||||||G||11||||()1()(k)1()()()1()(?????????????kkkkkkkxxxxxxxx續(xù)）證明 Jacobi迭代法和 GaussSeidel迭代法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnniibbbxxxaaaaaaxxxaaabbbxxxaaaaaaaaaniaA. . .. .
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