【導(dǎo)讀】求積公式的代數(shù)精度。f的原函數(shù)F為初等函數(shù)．。f沒(méi)有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式。分，同時(shí)考慮近似精度。的定積分的數(shù)值計(jì)算，其中為權(quán)函數(shù)，確定求積系數(shù)Ak和求積節(jié)點(diǎn)n；通常用“代數(shù)精確。定義１若對(duì)任意的，定義2若對(duì)函數(shù)，設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，求積節(jié)點(diǎn)為，

　　

【正文】 Leibniz公式可得顯式表達(dá)式 Legendre多項(xiàng)式的主要性質(zhì)有 (1)n次 Legendre多項(xiàng)式 的首項(xiàng)系數(shù) (2)正交性為 : 為區(qū)間 上帶權(quán)函 數(shù) 的正交多項(xiàng)式序列 ,且有 0!( ) ( 1 )( ) !nn k k n knnknL x C xnk????? ??()nLx ( 1 ) nnd ??0{ ( ) }nnLx ?? [0, )??() xxe? ??200,( , ) ( ) ( )( ! ) ,xn m n mL L e L x L x d x n?? ? ???? ???當(dāng) mn當(dāng) m=n權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式序列 ,且有 (3) Hermite多項(xiàng)式相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系為 四、 Jacobi多項(xiàng)式 Jacobi多項(xiàng)式是在區(qū)間 [1,1]上帶權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式 ,其中 2() xxe? ??2 0 , ,( , ) ( ) ( )2 ! ,xm n m n nmnH H e H x H x dxn ??? ???????? ????當(dāng)當(dāng) m=n。0111( ) 1 ,( ) 2 ,( ) 2 ( ) 2 ( ) , 1 , 2 , . . .n n nHxH x xH x x H x n H x n???????? ? ? ??( ) ( 1 ) ( 1 )x x x??? ? ? ? 1 , 1??? ? ? ?(3) Legendre多項(xiàng)式相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系為 三、 Hermite多項(xiàng)式 表達(dá)式 Hermite多項(xiàng)式的主要性質(zhì)有 (1)n次 Hermite多項(xiàng)式 的首項(xiàng)系數(shù) (2)正交性為 : 為區(qū)間 上帶 ()nHx()nHx01211( ) 1 ,( ) 1 ,( ) ( 1 2 ) ( ) ( ) , 1 , 2 , .. .n n nLxL x xL x n x L x n L x n??? ??????? ? ? ? ??22 ()( ) ( 1 )nxnxn ndeH x edx???( 2 ) nnd ??0{ ( ) }nnHx ?? ( , )?? ?? 有的書(shū)籍文獻(xiàn)把 Jacobi多項(xiàng)式記為 即 n次 Jacobi多項(xiàng)式表示為 其中 或 .兩種系數(shù) 推出兩種 Jacobi多項(xiàng)式 .詳細(xì)的情形請(qǐng)參閱文 獻(xiàn) [27]. ( , ) ()nJx??( , ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]nnnnn ndJ x K x x x xdx? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?1 2 1( 2 ) ! 2nnKn?? ( 1 )2!nn nK n?? Gauss型求積公式 由 1和定義 1可知 n點(diǎn)的求積 公式 (1)若具有最高的代數(shù)精確度 ,或具有 2n1 次的代數(shù)精確度成為 Gauss型求積公式 .到底 求積公式 (1)的求積節(jié)點(diǎn) 和求積系數(shù) 如何選取 ,才能使之成為 Gauss型求積公式 ? 定理 求積公式 (1)中的 n個(gè)求積節(jié)點(diǎn) ,取在區(qū)間 [a,b]上帶權(quán)函數(shù) 的 n次正交 多項(xiàng)式 的 n個(gè)根成為 Gauss型求積公式 . 證 設(shè) .[a,b]上帶權(quán)函數(shù) 的 1{}nkkx ? 1{}nkkA ?1{}nkkx ?()ngx()x?21( ) [ , ]nf x P a b??()x?n次正交多項(xiàng)式 的 n個(gè)根記為 ,記 的首項(xiàng)系數(shù)為 .由定義 2有 因此 , (5) 其中 .在 (5)式兩邊同乘 ,并從 a到 b積分 .由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知 ,含 項(xiàng)的積分為零 ,所以 (6) 注意到當(dāng) 作為插值節(jié)點(diǎn)時(shí)建立的 n點(diǎn)插值 ()ngx 1{}nkkx ?1{}nkkx ?nd*1()( ) ( )n nnkk ngxg x x xd?? ? ??*( ) ( ) ( ) ( ) ,nf x q x g x r x??1( ) , ( ) [ , ]nq x r x P a b??* ( ) ( )ng x q x()x?( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x r x d x?? ???求積公式 至少具有 n1次代數(shù)精確度 ,而 , 所以 (7) 又由 (5)式可知 , 即 (8) 綜合 (6),(7),(8)式可知 ,當(dāng) 時(shí) ,求積 公式 (1) 成立 . 1( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?1( ) [ , ]nr x P a b??1( ) ( ) ( )nk k nkI r A r x I r????( ) ( ) ( 1 , 2 , . . . , )kkf x r x k n??( ) ( )nnI f I r?21( ) [ , ]nf x P a b??1( ) ( ) ( )nbkkakx f x dx A r x??? ??用 n點(diǎn) Gauss求積公式 (9) 之值近似積分值 有下面的誤差估計(jì) . 定理 若 ,則 Gauss型求 積公式 (1)的誤差估計(jì) 為 其中 證明略 . 在稍后討論 Gauss積分值數(shù)列的收斂性 1( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?()nIf2( ) [ , ]nf x C a b?( , )Rf?2*2()( , ) ( ) [ ( ) ]( 2 ) !n bnafR f x g x d xn???? ?*1( ) ( )nnkkg x x x????等問(wèn)題時(shí) ,需要用到 Gauss型求積公式的求積 系數(shù) 大于零的結(jié)論 .這里用下面的定理 給出 . 定理 Gauss型求積公式的求積系數(shù) 大于零 . 證 令 ,這里 為區(qū)間 [a,b] 上帶權(quán)函數(shù) 的 n次正交多項(xiàng)式 的 n個(gè) 根 .顯然 1{}nkkA ?1{}nkkx ?()x? ()ngx1{}nkkA ?21()niikxxfxxx?????????????????1,0,() ()njkiiikfx xx?????? ? ????當(dāng) jk， 當(dāng) j=k由于 ,所以對(duì) 求積公式 (1)精確成 立 ,即 因?yàn)? 所以 在 ,我們討論了復(fù)化梯形求積公式和 復(fù)化 Simpson求積公式的收斂性 .那么 Gauss 22() nf x P ??()fx1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nbn j jajI f x f x d x I f A f x??? ? ? ??21,()nk k iiikA x x????? ，21,( ) 0 , ( ) ( ) 0n bki aiikx x x f x dx???? ? ?? ?0 , 1 , 2 , 3 , . . . ,kA k n??型求積公式被積函數(shù) 應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足什么條件才 收斂呢 ? Gauss型求積公式的收斂性問(wèn)題由下 面的定理給出 . 定理 若 ,則 Gauss型求 積公式所求積分值序列 收斂 于積分值 ,即 證 因?yàn)? ,由 Weierstrass定理 對(duì)任意的 ,存在 ,使得 ()fx( ) [ , ]f x a b?1{ ( ) ( ) }nn k kkI f A f x?? ?()If1l i m ( ) ( ) ( )n bkk ankA f x x f x dx??? ??? ?( ) [ , ]f x a b?1 0? ? ( ) [ , ]mmp x P a b? (10) 對(duì)任意的 成立 . 由于公式 (1)為 Gauss型求積公式時(shí)具有 2n1次代數(shù)精確度 ,取 N(m+1)/2,故當(dāng) nN時(shí) , 即 m2N12n1時(shí) ,有 (11) 成立 ,于是 由 (11)式可知 .而由 (10)式 ,有 1( ) ( )mf x p x ???[ , ]x a b?( ) ( )n m mI p I p?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m m n mI f I f I f I p I p I p? ? ? ? ?( ) ( )n m nI p I f??( ) ( ) 0m n mI p I p?? 和 ,從而 因?yàn)? ,記 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]bmmaI f I p x f x p x d x?? ? ??11nkkA??? ?1( ) ( )k m kf x p x ???1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]nn m n k m k kkI p I f A p x f x?? ? ??11nkkA??? ?0 , 1 , 2 , . . . ,kA k n?? 故 即 1 1 111( ) ( ) 0 2nnn k kkkI f I f A A C? ? ? ???? ? ? ? ? ???l im ( ) ( ) .nn I f I f?? ?1()nbkakC x dx A???? ?? Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用 定理 Gauss型求積 公式的一種方法 .這種方法 ,當(dāng)給定了積分區(qū)間 [a,b]和權(quán)函數(shù) 以后 ,構(gòu)造 n個(gè)點(diǎn)的 Gauss型求 積公式 ,先求出區(qū)間 [a,b]上帶權(quán)函數(shù) 的 n次 正交多項(xiàng)式 ,然后用多項(xiàng)式求根的方法求出 的 n個(gè)根 ,從而獲得了求積節(jié)點(diǎn) 為了求得求積系數(shù)