【正文】 S i m p so nS i m p so nSSSISSSmmmmmm????????????? ? ISmSS i m p so nhkafkhafbfafhSabhbadxxfImmmmmkmkmmmmmba?????????????????????22211212 ,)))12((4)2(2)()((32,2],[,)(11時，當序列可由此計算等分將區(qū)間（緊接下屏） Simpson公式的逐次分半法（續(xù)） ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????121111212112112121121212112121111111111)()()(2231 ))2(2))12((2)()((322)(2)()2(32 ))2(4))12((4)(2)(2(3))2(2))12((4)()((3]))12((4)2(2)()([3mmmmmmmmmmmkmmkmkmmkmmkmkmmkmkmmkmkmmbfafkhafhkhafhkafbfafhbfafkhafhkhafhkafbfafhkhafhkafbfafhhkafkhafbfafhS1222 3134??? mmm TTS即梯形 公式的逐次分半法舉例 用自動選擇步長的梯形 公式計算 I， 要求誤差 例 8 xxxfdxxxI s i n)(,s i n1021 106 ??? ??? ?????9 4 6 5 9 0 )(81219 4 4 5 1 3 4121)(41))2(41(21)(41))(21(41 ))(21)(21)(21)(21[419 3 9 7 9 3 212121)(2121 )2(41))(21)(21(219 2 0 7 3 5 )8 4 1 4 7 1 (21)(21))1()0((218/78/58/38/14824/34/124/34/12/1104/34/14/24/2104/44/34/34/24/24/14/10422/112/1102/11012/12/1021023210???????????????????????????????????????????????????ffffTTTffTfffffffffffffffffffTTfTffffffffffTffffT例 8（續(xù)） 9 4 6 0 8 2 s i n1021311021310210 0 1 1 7 7 31)9 4 6 5 9 0 (3131,9 4 6 0 8 2 9 4 6 0 8 1 1 0 622622622221 2 826426767223376???????????????????????xxxITTTTTTTITTTTT即而再繼續(xù)分區(qū)間由于若以上例說明 {Tn}收斂慢，求 T128 要計算 64個新增的函數(shù)值，而將 T8與 T4重新組合可構(gòu)造 S8。 例 8說明 ????????????????????????813134)(31,9 4 6 0 8 2 ,79 4 6 0 8 3 s i n9 4 6 0 8 3 31343134)(31:)(318482221 2 821 0 4822222222233723233323SSTTTTTTTxxxTTTTTTTTTT而實際上還準確這個結(jié)果比位有效數(shù)字的值相比較這是有與上這個差加到或者將)2()(31)2(34))(61)2(64)(61)(())()(21(3))(21)2()(21(23431343134:212212hShThTSbfbafafabbfafabbfbafafabTTSTT???????????????????即下面再次推導(dǎo)驗證由 T8與 T4重新組合可 構(gòu)造 S8， 這一結(jié)果并 不是偶然，因為有： 例 8說明（續(xù) 1） )(31:,)d( 122 2 ??? ? mmm TTxxfIT ba結(jié)束控制的誤差估計為近似積分若以我們將此誤差估計加到 T2m上構(gòu)成新的近似值： 在復(fù)化梯形公式逐次分半算法中： mmmmmm STTTTT 222222 11 3134)(31 ???????而在 Simpson逐次分半算法中： }{}{ 22 mm SS i m p so nT 序列構(gòu)造列亦即：可由復(fù)化梯形序(緊接下屏！ ) ? ? ? ? ? ?mmm CST 222: ?? ???? ?? 構(gòu)造構(gòu)造我們可由綜上可見mmmmmmmmmmCSSSSSSSSIS22222222221111511516)(151:),(151:,并且可證得到新的近似序列上補充到也可將此誤差補此誤差控制結(jié)束的誤差為近似積分若以? ? ? ? ??????????mC2由于 為復(fù)化 Cotes序列， 即由 Simpson序列可構(gòu)造出收斂更快的 Cotes序列 。 ? ?mC 2例 8說明（續(xù) 2） 例 8說明（續(xù) 3） 并且我們的具體做法都是利用 控制結(jié)束的誤差式，構(gòu)成新的，收斂更快的序列 ，而由前面的推導(dǎo)可知，下面這些公式具有如下規(guī)律性： 111111222222222222222221411441511516)(1511411443134)(31??????????????????????mmmmmmmmmmmmmmSSSSSSSTTTTTTT例 8說明（續(xù) 4） 類似地，也可以推導(dǎo)出： )(9 4 5)(2),(C o t e s(1411446316364)(631)6(622323322222 111mm fhabCfRCCCCCCCmmmmmmmm???????????? ???公式的誤差估計式的復(fù)化? ? ? ? ? ? ? ?繼續(xù)下去。于系數(shù)的規(guī)律性，還可由積分序列并且上述過程即是下面將要介紹的可繼續(xù)上述構(gòu)造過程：記按照上述系數(shù)規(guī)律性因此記為Ro m b e r gRRCSTRCCmmmmmmmm222222232331141144,?????????167。 5 龍貝格（ Romberg） 求積公式 外推法 從上面例，我們看到復(fù)化梯形序列 {T2m}收斂較慢，而利用梯形序列這些較粗略的近似值，重新進行線性組合得到的結(jié)果收斂更快，更準確。這種利用若干精略近似值推算更精確的近似值的方法，稱為 外推法 。 下面再舉例說明： 1 3 8 9 8 8 4 9 0 7 1 3 8 9 8 8 4 9 ))87()85()83()81((81211 3 1 1 7 6 0 ))4/3()41((4121)21(2121 :, 1 ]21[],21,0[3))1()0((21 ]1,0[14)(10 d14232321022222212221221 0 2????????????????????????????????ITTffffTTffTTfTTTffTTxxfxxI停止若用復(fù)化梯形公式???李查遜（ Richardson） 外推法 從一個基本公式出發(fā)，利用加速收斂的技巧，可以構(gòu)造 出收斂速度更快的近似序列，下面的 李查遜（ Richardson） 外推法 就是這樣一種方法。 設(shè)用某種數(shù)值方法求積分 I的近似值，一般設(shè)近似值是 步長的函數(shù)，記為 I1(h)， 若有相應(yīng)的誤差關(guān)系式： .),2,1(,02 3 )(7 )(2121121無關(guān)與其中 hiappphahahahIIikpkpp k?????????????????2 4 )(7 )()()()(:,22112121211???????????????kkkppkpppppkpphahahhahahahIIhh????????? 可得代替上式中的若用李查遜（ Richardson） 外推法（續(xù)） .,)()((,1)()(.),3,2)(1/()(1)()(1),1()()()( ))(()(:122112321131211211113211113132221重復(fù)上述過程收斂快比）其誤差階至少為顯然以令無關(guān)仍與其中除上式兩端得以只要取即以此式減上式乘以hIhIhOIIhIhIIhiabhbhbhbhIhIIhahahahIIhIIppppppiipkppppppppkppppppppikkk????????????????????????????????????????????????????????.,),()(),3,2(1)()()( 1111收斂愈快增大當誤差階為 mhOIhImhIhIhImmmpmpmpmm?????????? ???? 龍貝格（ Romberg） 求積公式 回到這里的積分問題我們可由變步長公式計算復(fù)化梯形 T2m， 得到梯形序列 {T2m}， 它收斂較慢，能否由它構(gòu)造出 新的，收斂更快的序列？ 將上述 Richardson外推法 應(yīng)用到 {T2m}， 就可構(gòu)造出計 算簡便，收斂卻很快的數(shù)值積分公式。 ),2,1,0( )2(2,2],[,)(1)(02 ???????? ?kabITTabhbadxxfIkkkkkba