【正文】 S i m p so nS i m p so nSSSISSSmmmmmm????????????? ? ISmSS i m p so nhkafkhafbfafhSabhbadxxfImmmmmkmkmmmmmba?????????????????????22211212 ,)))12((4)2(2)()((32,2],[,)(11時，當序列可由此計算等分將區(qū)間（緊接下屏） Simpson公式的逐次分半法（續(xù)） ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????121111212112112121121212112121111111111)()()(2231 ))2(2))12((2)()((322)(2)()2(32 ))2(4))12((4)(2)(2(3))2(2))12((4)()((3]))12((4)2(2)()([3mmmmmmmmmmmkmmkmkmmkmmkmkmmkmkmmkmkmmbfafkhafhkhafhkafbfafhbfafkhafhkhafhkafbfafhkhafhkafbfafhhkafkhafbfafhS1222 3134??? mmm TTS即梯形 公式的逐次分半法舉例 用自動選擇步長的梯形 公式計算 I， 要求誤差 例 8 xxxfdxxxI s i n)(,s i n1021 106 ??? ??? ?????9 4 6 5 9 0 )(81219 4 4 5 1 3 4121)(41))2(41(21)(41))(21(41 ))(21)(21)(21)(21[419 3 9 7 9 3 212121)(2121 )2(41))(21)(21(219 2 0 7 3 5 )8 4 1 4 7 1 (21)(21))1()0((218/78/58/38/14824/34/124/34/12/1104/34/14/24/2104/44/34/34/24/24/14/10422/112/1102/11012/12/1021023210???????????????????????????????????????????????????ffffTTTffTfffffffffffffffffffTTfTffffffffffTffffT例 8（續(xù)） 9 4 6 0 8 2 s i n1021311021310210 0 1 1 7 7 31)9 4 6 5 9 0 (3131,9 4 6 0 8 2 9 4 6 0 8 1 1 0 622622622221 2 826426767223376???????????????????????xxxITTTTTTTITTTTT即而再繼續(xù)分區(qū)間由于若以上例說明 {Tn}收斂慢，求 T128 要計算 64個新增的函數值，而將 T8與 T4重新組合可構造 S8。 例 8說明 ????????????????????????813134)(31,9 4 6 0 8 2 ,79 4 6 0 8 3 s i n9 4 6 0 8 3 31343134)(31:)(318482221 2 821 0 4822222222233723233323SSTTTTTTTxxxTTTTTTTTTT而實際上還準確這個結果比位有效數字的值相比較這是有與上這個差加到或者將)2()(31)2(34))(61)2(64)(61)(())()(21(3))(21)2()(21(23431343134:212212hShThTSbfbafafabbfafabbfbafafabTTSTT???????????????????即下面再次推導驗證由 T8與 T4重新組合可 構造 S8， 這一結果并 不是偶然，因為有： 例 8說明（續(xù) 1） )(31:,)d( 122 2 ??? ? mmm TTxxfIT ba結束控制的誤差估計為近似積分若以我們將此誤差估計加到 T2m上構成新的近似值： 在復化梯形公式逐次分半算法中： mmmmmm STTTTT 222222 11 3134)(31 ???????而在 Simpson逐次分半算法中： }{}{ 22 mm SS i m p so nT 序列構造列亦即：可由復化梯形序(緊接下屏！ ) ? ? ? ? ? ?mmm CST 222: ?? ???? ?? 構造構造我們可由綜上可見mmmmmmmmmmCSSSSSSSSIS22222222221111511516)(151:),(151:,并且可證得到新的近似序列上補充到也可將此誤差補此誤差控制結束的誤差為近似積分若以? ? ? ? ??????????mC2由于 為復化 Cotes序列， 即由 Simpson序列可構造出收斂更快的 Cotes序列 。 ? ?mC 2例 8說明（續(xù) 2） 例 8說明（續(xù) 3） 并且我們的具體做法都是利用 控制結束的誤差式，構成新的，收斂更快的序列 ，而由前面的推導可知，下面這些公式具有如下規(guī)律性： 111111222222222222222221411441511516)(1511411443134)(31??????????????????????mmmmmmmmmmmmmmSSSSSSSTTTTTTT例 8說明（續(xù) 4） 類似地，也可以推導出： )(9 4 5)(2),(C o t e s(1411446316364)(631)6(622323322222 111mm fhabCfRCCCCCCCmmmmmmmm???????????? ???公式的誤差估計式的復化? ? ? ? ? ? ? ?繼續(xù)下去。于系數的規(guī)律性，還可由積分序列并且上述過程即是下面將要介紹的可繼續(xù)上述構造過程：記按照上述系數規(guī)律性因此記為Ro m b e r gRRCSTRCCmmmmmmmm222222232331141144,?????????167。 5 龍貝格（ Romberg） 求積公式 外推法 從上面例，我們看到復化梯形序列 {T2m}收斂較慢，而利用梯形序列這些較粗略的近似值，重新進行線性組合得到的結果收斂更快，更準確。這種利用若干精略近似值推算更精確的近似值的方法，稱為 外推法 。 下面再舉例說明： 1 3 8 9 8 8 4 9 0 7 1 3 8 9 8 8 4 9 ))87()85()83()81((81211 3 1 1 7 6 0 ))4/3()41((4121)21(2121 :, 1 ]21[],21,0[3))1()0((21 ]1,0[14)(10 d14232321022222212221221 0 2????????????????????????????????ITTffffTTffTTfTTTffTTxxfxxI停止若用復化梯形公式???李查遜（ Richardson） 外推法 從一個基本公式出發(fā)，利用加速收斂的技巧，可以構造 出收斂速度更快的近似序列，下面的 李查遜（ Richardson） 外推法 就是這樣一種方法。 設用某種數值方法求積分 I的近似值，一般設近似值是 步長的函數，記為 I1(h)， 若有相應的誤差關系式： .),2,1(,02 3 )(7 )(2121121無關與其中 hiappphahahahIIikpkpp k?????????????????2 4 )(7 )()()()(:,22112121211???????????????kkkppkpppppkpphahahhahahahIIhh????????? 可得代替上式中的若用李查遜（ Richardson） 外推法（續(xù)） .,)()((,1)()(.),3,2)(1/()(1)()(1),1()()()( ))(()(:122112321131211211113211113132221重復上述過程收斂快比）其誤差階至少為顯然以令無關仍與其中除上式兩端得以只要取即以此式減上式乘以hIhIhOIIhIhIIhiabhbhbhbhIhIIhahahahIIhIIppppppiipkppppppppkppppppppikkk????????????????????????????????????????????????????????.,),()(),3,2(1)()()( 1111收斂愈快增大當誤差階為 mhOIhImhIhIhImmmpmpmpmm?????????? ???? 龍貝格（ Romberg） 求積公式 回到這里的積分問題我們可由變步長公式計算復化梯形 T2m， 得到梯形序列 {T2m}， 它收斂較慢，能否由它構造出 新的，收斂更快的序列？ 將上述 Richardson外推法 應用到 {T2m}， 就可構造出計 算簡便，收斂卻很快的數值積分公式。 ),2,1,0( )2(2,2],[,)(1)(02 ???????? ?kabITTabhbadxxfIkkkkkba