【正文】 的極值求 ?? xxy xxxy ln1ln ?取對數(shù) : xyx lnln ?求導 : )1( 11ln xyyxy ???0??y令xy1ln ?即xxx1ln1 ?? 1ln ?? x得唯一駐點 : ex?eey1?對 (1)式求導 : 22211))(1(11xyyxyyxyyyy ???????????54/58 微積分 （上） 四、計算題 (二 )（每題 7分，共 35分） .)0(.51的極值求 ?? xxy x22211))(1(11xyyxyyxyyyy ???????????代入上式得：， 0)(,1???? eyeyex e211)(1eeyeee????eeeey131)( ????? 0?是極大值點ex ?? 是極大值。即 eey1?55/58 微積分 （上） 五、應(yīng)用題（每題 8分，共 16分） .)1l n (.1 2 凸區(qū)間及拐點的單調(diào)區(qū)間、極值、凹求函數(shù) xy ??),( ?????fD212xxy??? 222)1(22)1(2xxxxy???????222)1(22xx???22 )1()1)(1(2xxx????00 ??? xy 得：令 10 ????? xy 得：令56/58 微積分 （上） 列表討論 : )1,( ??? 1? )0,1(? 0 )1,0( ),1( ??yxy?y?100?? 0 ?? )2ln,1(?是極小值0)0( ?f)2ln,1()2ln,1( ，拐點： ?極小 拐點 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?)2ln,1(拐點 ),0[],0,( ????? 單增區(qū)間：單減區(qū)間：),1(),1,(),1,1( ?????? 凸區(qū)間：凹區(qū)間：57/58 微積分 （上） 五、應(yīng)用題（每題 8分，共 16分） 5元 ,生產(chǎn)中可變成本為每單位 ,又因產(chǎn)量與廣告費 A之間的關(guān)系為 , 且生產(chǎn)的產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后全部銷售 ,求產(chǎn)品利潤最大時的最優(yōu)廣告投入 A. Ax 2 0 0? CxC ?? 07 5 0 CA ??成本 : 收益 : AxR 1 0 0 05 ??利潤 : ACAAACRL ???????075010000250 CAA ???58/58 微積分 （上） 利潤 : ACAAACRL ???????075010000250 CAA ???1125 ??? ALAA?? 1250??L令 0125 ??AA即15625?A得唯一駐點：32125AL ????? 031250 1)15625( ?????L值點。是極大值點，也是最大1 5 6 2 5?? A元。入為利潤最大時最優(yōu)廣告投 1 5 6 2 5?59/58 微積分 （上） 六、證明題（ 4分） )()(),(0)()(],[)(??? ffbabfafbaxf????，使至少存在一點內(nèi)，試證：在上可導，且在設(shè))()( xfexF x??設(shè)輔助函數(shù)證明 : )]()([)()()( xfxfexfexfexF xxx ??????? ???內(nèi)可導，上連續(xù)，在 ),(],[)( babaxF,0)()( ?? ? afeaF a 0)()( ?? ? bfebF b)(xF 滿足羅爾定理的所有條件 , 0)(),( ??? ?? Fba ，使內(nèi)至少存在一點在0)]()([ ???? ??? ffe即 )()( ?? ff ??亦即完 60/58 微積分 （上） 處連續(xù)。在時 0,0 0 )1()(,_ _ _ _ _ _ _ 1??????????? xxkxxxfk xxxxxxf100)1(lim)(lim ?????處連續(xù)在 0)( ?xxf?kf ?? )0(exxx1])1[(l i m 110??? ???ek1??61/58 微積分 （上） ._______)3(3)23()3(l i 0???????fh hfhfh，則設(shè)hhfhfh)23()3(lim0????hfhfhfhfhh 2)3()23(l i m2)3()3(l i m00 ?????????)3(3 f ?? 3?1)3( ??? f])3()23()3()3([lim0 hfhfhfhfh ????????62/58 微積分 （上） ._______ln)()(.31??????xxdxdyxxxfefy 則，且若)1()( ?????? ?? xx eefy)( xx efe ?? ???xxxf ln)( ???xxx eeef ??? ??? ln)( xxe ???)( xx xeey ?? ????? xxe 2??121)(?????xxxxedxdy 2?? e63/58 微積分 （上） ._______)10(????彈性需求量與價格，則需求分別為和，其中設(shè)某商品的需求函數(shù)為 pQpQpppp 51005??????20?? pp12022 1010 ?????64/58 微積分 （上） ._ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _)51()()(.5 2 ??? dxxxfxfxF 的一個原函數(shù)，則是若的一個原函數(shù)，是 )()( xfxF?CxFdxxf ??? ? )()(?? ????? )51()51(101)51( 222 xdxfdxxxfCxF ???? )51(101 265/58 微積分 （上） ) ()(lim21)(00???? xbxfxaxfxx，則若baDabCabBabA2. ,2. ,21. ,2.atbx ?令tbaatfxbxftx)(lim)(lim00 ??? tatfabt)(l i m0??21)(l i m0?? xaxfxab2?66/58 微積分 （上） ). (~2s i ns i ??? kxxxx k ，則時，若4 . ,3 . ,2 . ,1 . DCBAkxkx xxxxxx )c os1(s i n2l i m2s i ns i n2l i m00?????kx xxx 20212lim??? kx xx 30lim?? 1?3?? k67/58 微積分 （上） ). ( 2 ???? dxxx x ,41a r c t a n21)52l n ( . ,412 a r c t a n)52l n ( . ,21a r c t a n)52l n ( . ,212 a r c t a n)52l n ( .2222CxxxDCxxxCCxxxBCxxxA??????????????????? ????? ???? dxxxdxxx xdxxx x 52252 22522 222? ?????? dxxxx 222 2)1( 12)52l n (Cxxx ?????? 2 1ar c tan212)52l n ( 2Cxxx ????? 2 1ar c tan)52l n ( 2