計(jì)算方法-數(shù)值積分-插值型積分-資料下載頁
2025-08-05 17:03本頁面
【正文】 (x)=1, x, …, xn,…驗(yàn)算代數(shù)精度 構(gòu)造插值求積公式的步驟： ?? ba kk ( x) d xlA)f ( xAf ( x ) d x kban0kk? ???(2) 求出 f(xk)及利用 或解關(guān)于 Ak的線性方程組求出 Ak，得到 : 例 10 對(duì) , 構(gòu)造至少有 3次代數(shù)精度的求積 公式。 同學(xué)自己完成 。 ?30 f( x ) d x解 : 3次代數(shù)精度需 4個(gè)節(jié)點(diǎn) , 在 [0, 3]上取 0, 1, 2, 3四個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式 f ( 3 )Af ( 2 )Af ( 1 )Af ( 0 )Af ( x) d x 32130 0?????確定求積系數(shù) Ak(k=0, 1, 2, 3), 利用求積系數(shù)公式 ?? ????????? ???? 30 23300 836 ) dx1 1 x6x(x61dx3)2 ) ( 01 ) ( 0(0 3)2 ) ( x1 ) ( x(xA,89dx3)2 ) ( 10 ) ( 1(13)2 ) ( x0 ) ( x(xA 301???????? ?因?yàn)榍蠓e公式有 4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以至少具有 3次代數(shù)精度，只需將 f(x)=x4代入來驗(yàn)證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端丌相等，所以 只有 3次代數(shù)精度 。 83A,89A32 ??? ?f ( 3 )3 f ( 2 )3 f ( 1 )f ( 0 )83f ( x) dx30????? ?Home 求積公式的收斂性和穩(wěn)定性 、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性 ( 1 . 3 ) fAf ( x) dx kban0kk? ???一般地，求積公式 通常稱為機(jī)械求積公式。 ????n0kkkba)f ( xAf ( x) dx其中 ?? ba kk ( x) d xlA插值型求積公式 使用了插值基函數(shù)的定積分作為系數(shù)。 bxxxa n10 ????????若 f(x)在 [a, b]上有 n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則插值型求積公式的余項(xiàng)的表達(dá)式為： ( 1 . 7 )d x )x(x1 ) !(n( ξ )f ( x) ] d xL[ f ( x)R [ f ]ban0jj1)(nban? ????????誤差估計(jì)公式 f ( 1 )31f ( 0 )341)f(31f ( x) dx11??????例 1 使用以下的插值型求積公式， dxe11x?計(jì)算 并且估計(jì)誤差。 解：利用以上求積公式，得 2 . 3 6 1 9e3134e31dxe 1111x ???? ??誤差估計(jì) : ?? ?? 10 211 2 ) dxxx( 13edx)xx( 16edx1)1 ) ( xx( x3!eR [ f ] 11ξ? ???2 . 3 5 0 4ee|edxe 11 1x11 x ???? ??用牛頓 萊布尼茨公式計(jì)算，得精確解： 本題近似計(jì)算結(jié)果 = 計(jì)算 x(1x2 )在 [0, 1]上的定積分，得到誤差估計(jì)： |R[f]| = e/12 = 實(shí)際誤差 R = | | = 問題 ：為什么實(shí)際誤差比使用公式得到的誤差估計(jì) 值要??？ 求積公式的收斂性 定義 ?? ??? ??ban0kkk0hnf ( x ) dx)f ( xAlim定義 2 在求積公式 ()中，若 其中 ， 則稱求積公式 () 是收斂的。 )x(xm a xh 1iini1 ??? ??求積公式的 穩(wěn)定性定義 |]f)[ f ( xA||)f(I( f )I|n0kkkknn ???? ~~則有n，0 , 1, . . . ,k ,δf)f ( x ，即) 有誤差δ設(shè)f ( x kkkkk ??~n ，就有0 ,1 , .. . ,kδ,|f)f ( x|只要0,δ0,ε若 定義3 kk?????? ~ε|]f)[ f ( xA||)f(I( f )I|n0kkkknn ??? ??~~則稱公式（ ）是穩(wěn)定的。 丌會(huì)由 f(xk )的微小誤差而導(dǎo)致積分值產(chǎn)生大的變化 定理 2 若求積公式（ ）中的系數(shù) Ak0, k = 0, 1,…,n，則求積公式是穩(wěn)定的。 證明 ： 有n0 , 1 , . . . ,δ ，k|f)f ( x|當(dāng) kk ，~ ??|]f)[ f ( x|A|)f(I( f )I|n0kkkknn ???? ~~按照穩(wěn)定性定義， 求積公式是穩(wěn)定的。 ?????n0kk a ) δ(bAδ作業(yè) 習(xí)題 1(1) (3), 2(1) 135PHome
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