【正文】 Chapter 7 數(shù)值積分與數(shù)值微分 內(nèi)容提綱（ Outline) ? 求積公式的代數(shù)精度 ? 插值型求積公式 ? 復(fù)化求積法 為什么要數(shù)值積分？ 在微積分里，按 NewtonLeibniz公式求定積分 要求被積函數(shù) f(x) ? 有解析表達(dá)式； ? f(x)的原函數(shù) F(x)為初等函數(shù)． ( ) ( ) ( ) ( )baI f f x d x F b F a? ? ??Why do we do numerical integral? 問題 ? f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式 . ? f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù) . ， 它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù) . 210xe dx??10 ( a r c t a n )x x d x?x 1 2 3 4 5 f(x) 4 6 8 求定積分就得通過近似計算－數(shù)值積分求得積分近似值 基本思想是對被積函數(shù)進行近似，給出數(shù)值積分，同時考慮近似精度。 下面首先給出代數(shù)精確度的概念 代數(shù)精確度 本章討論的是形如 的定積分的數(shù)值計算，其中 為權(quán)函數(shù)， 要滿足 . ( ) ( ) ( )baI f x f x d x?? ?()x?一般把積分區(qū)間 n個點 {xk}上的函數(shù)值 f(xk)加權(quán) Ak的和 作為積分 I(f)的近似 , 即 或記 (2) 1( ) ( ) ( , )nkkkI f A f x R f?????1()nkkkA f x??1( ) ( )nkkkA f x I f??? 上式中 xk， Ak分別稱為求積節(jié)點 、 求積系數(shù) .求積系數(shù)與被積函數(shù) f(x)無關(guān) ,而與求積節(jié)點 、 求積區(qū)間 、 權(quán)函數(shù)有關(guān) ． 稱公式 (2)為 n點求積公式 ，有時也稱 為一個 n點求積公式 ， 為求積公式的誤差 ． 用此公式 )求積分近似值的計算稱為數(shù)值積分或數(shù)值微分 ． 1( ) ( ) ( , )nkkkI f A f x R f?????1( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?( , )Rf? 構(gòu)造或確定一個求積公式，要討論解決的問題有 (i) 確定求積系數(shù) Ak和求積節(jié)點 n； (ii) 求積公式的誤差估計和收斂性． 用什么標(biāo)準(zhǔn)來判定兩個節(jié)點數(shù)相同的求積公式的“好”與“差”呢？通常用“代數(shù)精確度”的高低作為求積公式“好”與“差”的一個標(biāo)準(zhǔn)．在后面的討論中我們將看到，節(jié)點相同的求積公式，代數(shù)精確度越高，求出的積分近似值精確度一般越好．下面給出代數(shù)精確度的定義． 定義 １ 若對任意的 ，求積公式 (2)的誤差都滿足 ，則稱該求積公式具有 n次代數(shù)精確度． 驗證一個求積公式所具有的代數(shù)精確度用定義 １ 是極不方便的，為此給出另一個定義． ( ) [ , ]nnp x P a b?1( , ) 0nRx? ? ? 定義 2 若對函數(shù) ， 求積公式 (2)精確成立，即 而 ， 則稱其具有 n次代數(shù)精確度． 因為函數(shù)組 是 的一組基函數(shù)，所以兩個定義是等價的，但在具體應(yīng)用時，定義 2比定義 1要方便的多． 23( ) 1 , , , . . . , nf x x x x?( , ) 0Rf? ?1( , ) 0nRx? ? ?23( 1 , , , . . . , )nx x x [ , ]nP a b 例１ 驗證求積公式 具有 3次代數(shù)精確度． 解： 當(dāng) 而 有 3( ) ( ) ( , ) { ( ) 4 ( ) ( ) } ( , )62b a a bI f I f R f f a f f b R f????? ? ? ? ? ?( ) 1 ( ) 1baf x I f d x b a? ? ? ??時 ， ，3 ( ) ( 1 4 1 ) ( )6baI f b a?? ? ? ? ?( , 1 ) 0R ? ?（ 1）當(dāng) （ 2）當(dāng) （ 3）當(dāng) 3( ) ( ) ( , ) { ( ) 4 ( ) ( ) } ( , )62b a a bI f I f R f f a f f b R f????? ? ? ? ? ?22( ) ( ) 2baf x x I f ???時 ，223 ( ) ( 2 2 )62b a b aI f a a b b??? ? ? ? ?( , ) 0Rx? ?332( ) ( )3baf x x I f ???時 ，2( , ) 0Rx? ?443( ) ( )4baf x x I f ???時 ，3 4 4333()( ) ( )6 2 4b a a b b aI f a b? ? ?? ? ? ?3( , ) 0Rx? ?332 2 23 ( ) ( ( ) )63b a b aI f a a b b??? ? ? ? ?（ 1）當(dāng) 故求積公式具有三次代數(shù)精確度． 3( ) ( ) ( , ) { ( ) 4 ( ) ( ) } ( , )62b a a bI f I f R f f a f f b R f????? ? ? ? ? ?554( ) ( )5baf x x I f ???時 ，4443()( ) ( ) ( )64b a a bI f a b I f??? ? ? ?4( , ) 0Rx? ? 插值型求積公式 這一節(jié)所討論的求積公式，都是用在區(qū)間 [a, b]上對被積函數(shù) f(x)作插值所得插值多項式 Pn(x)代替被積函數(shù) f(x)導(dǎo)出的公式．這一類求積公式的求積節(jié)點 xk，就是對 f(x)作插值時的插值節(jié)點，所以這類求積公式稱為插值型求積公式． 為簡便起見，這節(jié)討論節(jié)點分布為等距并且權(quán)函數(shù) 時的插值型求積公式的構(gòu)造等問題． ()x? NewtonCotes求積公式 一、公式的推導(dǎo) 設(shè)將積分區(qū)間 [a,b]n等分，求積節(jié)點為 ， 那么， 令 x=a+th，則 t=(xa)/h，且由 可知 ． 由 Lagrange插值基函數(shù)有 而 ，所以 [ , ]x a b?0{}nkkx ?0 , , ,njx a x b x a j h? ? ? ?0 , 1 , .. ., 。 baj n hn???[0, ]tn?0 , 0 ,( ) ( )nnikki i k i i kkixx til x l a t hx x k i? ? ? ?? ?? ? ? ?????0,( 1 )! ( ) !nk ni i ktik n k??????? ?badx hd t dtn???00 0,( 1 )( ) ( ) ( )! ( ) !nk nb n nkkai i kbal x d x l a th h d t t i d tn k n k?????? ? ? ?? ?? ? ?將 n次 Lagrange插值多項式 Ln(x)代替被積函數(shù) f(x)得 記 稱為 Cotes求積系數(shù)．它與 (3)式中的求積系數(shù) Ak相差一個常數(shù) ba 即 ()10( ) ( ) ( 1 , ) ( ) ( ) ( 1 , )nnn k kkI f I f R f b a C f x R f??? ? ? ? ??0( ) ( 1 , )n kkkA f x R f????()0 0,( 1 ) ( ) , 0 , 1 , .. ., ,! .( ) !nk nnnki i kC t i d t k nk n n k????? ? ?? ??()( ) , 0 , 1 , . . . , .nkkA b a C k n? ? ?把 Ak代入到 (3)式中，得到 NewtonCotes求積公式．例如 當(dāng) n=4,5時， NewtonCotes公式分別為 n=0,1,2三種情形，在討論 (3)式中的余項 R(1, f)后再詳細(xì)討論． 6 0 1 7 3 4 5( ) ( 1 9 7 5 5 0 5 0 7 5 1 9 )288baI f f f f f f f?? ? ? ? ? ?5 0 1 7 3 4( ) ( 7 3 2 1 2 3 2 7 )90baI f f f f f f?? ? ? ? ?二、誤差估計 求積公式 (3)計算出的積分 I(f)的近似值 In+1(f)的誤差多大？ 若被積函數(shù) ，記 ， 對 n次 Lagrange插值余項求積，可得 n+1個節(jié)點的 NewtonCotes求積公式的誤差估計式為 (5) 1( ) [ , ]nf x C a b??210 0| ( 1 , ) | ( )( 1 ) !nnnniMR f h t i d tn?????? ??( 1 )1 m a x | ( ) |nna x bM f x?????驗證求積公式 (3)的代數(shù)精確度，不用誤差估計的 (4)式，而用直接對插值余項求積的形式，即 (5) 由 (5)式，顯而易見，當(dāng) 時，因 可知， R(1, f)=0，所以我們所 n+1點的求積公式 (3)至少具有 n次的代數(shù)精確度．進一步可以證明，當(dāng) n為偶數(shù)時，求積公式 (3)的代數(shù)精確度可以達(dá)到 n+1次． ( 1 ) ( ) 0nf ?? ?( 1 )1 m a x | ( ) |nna x bM f x?????( ) 1 , , . . . , nf x x x?三、幾種常見的 NewtonCotes求積公式 對 n=0, 1, 2, 按公式 (3)可以得出下面三種常見的 NewtonCotes求積公式 . 1. n=0時的矩形求積公式 分別以積分區(qū)間 [a, b]的左、右端點和區(qū)間中點，即 x=a， b，(a+b)/2為求積節(jié)點得到： 左 矩形求積公式： 右 矩形求積公式： 中 矩形求積公式： 三個求積公式的誤差估計，可將函數(shù) f(x) 分別在 處展開到含 f(x)的一階導(dǎo)數(shù)的 Taylor公式在區(qū)間 [a, b]上積分 推得． 1( ) ( ) ( )I f f a b a R? ? ?3( ) ( ) ( )2abI f f b a R?? ? ?3( ) ( ) ( )2abI f f b a R?? ? ?, 2abx a b ??2. n=1時的梯形求積公式 按 Cotes系數(shù)公式計算得 故求積系數(shù) A0, A1為 ， 梯形求積公式為 記 (6)式的幾何意義如圖 72所示（見 p327） 容易驗證公式 (6)的代數(shù)精確度的次數(shù)為 1. 考慮梯形求積公式 (6)的誤差估計 R(1, f)．假定 時，用推廣的積分中植定理，將過 (a, f(a)), (b, f(b))點的線性 插值的