微分與不定積分-在線瀏覽
2024-09-11 15:03本頁面
【正文】 由 f 的單調(diào)性得 ， 因此 ， 即 。 (2) 由 (1) 的證明知對任意 ，有 ，當(dāng) 時顯然 ，當(dāng) 時， ，這說明 f 在 中任一點的左、右方跳躍度均非負， 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) )0( 0 ?xf),( bax ?)0()()0( 000 ???? xfxfxf ax ?0)0()( ?? afaf bx ?0)0()( ?? bfbf ],[ ba第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 設(shè) F 為 f 在 上的不連續(xù)點全體，若 ，且 ，則由 f 的單調(diào)性可知 ，因此開區(qū)間 與 互不相交，且由于 F 中點為不連續(xù)點，故 。 ],[ baFxx ?21 , 21 xx ?)0()0( 12 ??? xfxf))0(),0(( 11 ?? xfxf ))0(),0(( 22 ?? xfxf)2,1)(0()0( ???? ixfxf ii1R第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 作對應(yīng)關(guān)系 如下： ， 并記 ， 則 是 中互不相交的開區(qū)間構(gòu)成的集類，從而最多可數(shù)，顯然 是 F 到 的一一對應(yīng)，所以 F 也是至多可數(shù)的集合。 三 ． 單調(diào)函數(shù)的可積性 問題 3： [a,b]上的單調(diào)函數(shù)是否一定 是 R可積的 ？ 為什么 ？ 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) 定 理 2 設(shè) f 是 [a,b] 上單調(diào)增加的有限函數(shù)，則 f 是 [a,b] 上的 Riemann可積函數(shù)。 2定理 6知 f 必是 Riemann可積函數(shù)，證畢。 定 義 2 設(shè) 是兩組數(shù) ( p 是正整數(shù)或 )，滿足 ，設(shè) 是 中的 p 個點，稱下列函數(shù) 為跳躍函數(shù)，其中 是所謂的Heaviside函數(shù) ： 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) },2,1|{},2,1|{ pnpn nn ?? ?? ?????????|)||(|1nnpn?? },2,1|{ pnx n ??],[ ba)()()( 111nnpnnnpnxxxxx ???? ?????????)(x?如果 都是非負數(shù)，則不難驗證 是單調(diào)增加的。 (ii) 每個 都是 的第一類不連續(xù)點，且 在 點的左方跳躍度為 ，右方跳躍度為 ?，F(xiàn)設(shè) ，令 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) nx? ???p??p)()()( 111nnknnnknk xxxxx ???? ?????????k?由于級數(shù) 收斂，故 ， 所以 在 上一致收斂到 ，從而對任意 ，存在 使得 時，有 第二節(jié) 單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu) |)()(||)()(| 111knknnnknk x
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