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[理學(xué)]不定積分典型例題-在線瀏覽

2025-01-25 00:46本頁(yè)面
  

【正文】 ( co s212co s3co s.5si n101si n21 Cxx ???利用積化和差公式,得 解 ?? dxxsin1? xdxcsc? ??? )( co sco s1 1 2 xdx? ??? duu 21 1 ? ?????? ????? duuu 1 11 121Cuu ???? 11ln21 .co s1 co s1ln21 Cxx ????類似地可推出 例 17 求 .c sc? xdx?? dxxx2s i ns i n.)tanl n ( s e cs e c Cxxxdx ????.)c o tl n ( c s c Cxx ??????xxd12原式????xxd1)1(2Cx ??? 14[解 ] ? ? x x dx 1 例 18 dxxxx???4c os4c oss i n2原式????222)(c os4)(c osxxdCx ??? )2c osar c s i n ( 2[解 ] dx x x ? ? 4 cos 4 2 sin ] 19 [ 例 )ln1(ln112lnln1 xdxx ?????? ?原式)ln1()ln1( 21xdx ??? ?[解 ] )ln1()ln1()12(l n 21xdx ???? ??Cxx ?????? 2123)ln1)(12(l n2)ln1(32dx x x x ? ? ln 1 2 ln ] 21 [ 例 dxxexeexxxx? ??? )1( )1(原式)()1()1( xxxxxxedxexexexe? ????? ?? )1( )( xxxxexexedCxexexx???1ln[解 ] dx xe x x x ? ? ? ) 1 ( ) 1 ( ] 22 [ 例 例 1 解 . )0( d 22 ??? aax x計(jì)算 . ),(),( 1)( 22 ??????? aaaxxf ?的連續(xù)區(qū)間為時(shí) ),( )1( ??? ax dt ans ecd 20 s ec ,故,則,令 tttaxttax ???? ?? ??? ta tttaax x t an dt ans e cd 22?? tt ds ec1 |t a ns e c|ln Ctt ???) ln ( . ||ln 122 aCCCaxx ????? =xat22 ax ?時(shí) ),( )2( ax ???? dt ans ecd 2 s ec ,故,則,令 tttaxttax ???? ??? ? ??? ta tttaax x t an dt ans e cd 22??? tt ds ec1 |t a ns e c|ln Ctt ???? ||ln 222 Caxx ?????0?x2222222 ))((ln Caxx axxaxx ??? ??????)ln( . ||ln 122 aCCCaxx ?????? ),( ),( 均有或綜上所述,不論 axax ??????? ).0( , ||lnd 2222 ??????? aCaxxax x。 例 2. ? ? xxe x d12求解: 觀察 12 ?xxe 中間變量 u=x2+1 但 u=x2+1的導(dǎo)數(shù)為 u? = 2x 在被積函數(shù)中添加 2個(gè)因子 12 221 ?xex39。 解: 因?yàn)榭偝杀臼强偝杀咀兓?y?的原函數(shù),所以 已知當(dāng) x?0 時(shí), y?1000, 例 9. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 , 每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成 本 y 的 變化率 是日產(chǎn)量 x 的函數(shù) y ?x257 ?? ,已知固定 ?成本為 1000元,求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。 例 12 ??dxxx241 ? ???? dxxx24111 ?????? dxxxx22211)1)(1( 例 12 ??dxxx241 ? ???? dxxx24111 ?????? dxxxx22211)1)(1( ????? dxxx )111(2231? x 3 ? x ? a r c t g x ? C 。 例 7. ( 3) ? x1 dx ? l n |x |? C , ( 1 1) ? 21 1 x? dx ? a r c t g x ? C 。 例 5. 例 9 ? s i n 2 2x dx dxx )co s1(21 ?? ? Cxx ??? )si n(21 。 例 10 ? dxxx2c o s2si n122?? dxxs i n14 ? ? 4 c t g x ? C 。 例 9 ? s i n 22x dx dxx )co s1(21 ?? ? Cxx ??? )si n(21 。)( baxda d x ??)(21 2xdx dx ?)( xx eddxe ?)( s i nc o s xdxdx ?)c o s(s i n xdxdx ??)(l n1xddxx?)(21xddxx?)(ar c tan112 xddxx ??)(ar c s i n112xddxx?? 常用微分公式 例 2. 求 ???? xxxxx d)1(122解 : ?? ??? xxxx d1 d 2Cxx ??? ||lna rct a n? ??? xxx xx d)1(1 22例 3. 求 解 : ? xx dta n 2xx d)1(s e c 2? ??Cxx ??? t an? xx dta n 2?? ?? xxx dds e c 2例 4. 求 其中,d)(? xxf f (x)= x2+1, x0. 1 ,1 ?xx10 ,1 ?? x解 : 作函數(shù),待定和原函數(shù)內(nèi)分別有和在),(ln,3],1[]1,0[),0,()(21213CCCxCxxxxf???????F(x)= 0 ,33?? xxx1 ln 2 ?? xCx10 1 ??? xCx而要使 F(x)成為 f (x)在 R上的原函數(shù),必須F(x)連續(xù),從而 C1= 0, C2= 1,因此滿足條件的函數(shù)為 F(x)= 0 ,33?? xxx.1 1ln ?? xx10 , ?? xx故 CxFxxf ??? )(d)( ( 4) ? a x dx ? aaxln ? C , (6 ) ? c o s x dx ? s i n x ? C , dx2se c? ? t g x ? C , 例 6 ? ( e x ? 3c o s x ) dx ? e x ? 3s i n x ? C 。 例 9 ? s i n 2 2x dx dxx )co s1(21 ?? ? Cxx ??? )si n(21 。 例 10 ? dxxx2c o s2si n122?? dxx2s i n14 ? ? 4 c t g x ? C 。 例 6 ? ( e x ? 3c o s x ) dx ? e x ? 3s i n x ? C 。 例 6. 例 10 ? dxx2c o ssi n122?? dxx2s i n14 ? ? 4 c t g x ? C 。 ????? dxxx )111(2231? x 3 ? x ? a r c t g x ? C 。 例 12 ??dxxx241 ? ???? dxx24111 ?????? dxxxx22211)1)(1( 例 8. y ? ? )257(x? dx xx 507 ?? ? C 。 因此有 C =1000, 作業(yè): P137: 5 (2)( 5) (10) (15). 于是 總成本 y 與日產(chǎn)量 x 的函數(shù) 為 y xx 507 ?? ? 1000 。u u 因此 Cexxe xx ?? ??? 11 2221d例 3. ? ? xxx d543求解 : ? ? xxx d 5 34Cu ????? 1211211415 4 ?? xu ? udu 41 21Cx ??? 234 )5(61u u du ? ?? xxx d4 541 34? xxxf d)(39。而只是作“形式”計(jì)算,一般不再分區(qū)間討論今后在計(jì)算不定積分時(shí) 例 2 求 解 ).0(22 ??? adxxatd tadx c o s???? ??? t dtatadxxa c o sc o s2222,sin?? ???? ttaxtataaxa c o ssi n 22222 ????? ? ??? dttatd ta 2 2c o s1c o s 222Cttata ??? c o ssin2222Cxaxaxaaxt?????222212ar c s i nar c s i nt22 xa ?xa例 3 求 解 ).0(1 22 ??? adxax
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