數(shù)值分析第四章數(shù)值積分(已修改)
2025-05-31 23:22 本頁面
【正文】 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 /* Numerical Integration and differentiation*/ 近似計算 ?? ba dxxfI )(167。 1 引言 ? 對 f(?)采用不同的近似計算方法，從而得到各種不同的求積公式。 ? 以上三種方法都是用被積函數(shù)值的 線性組合 來表示積分值 。 推廣，一般地有 0( ) ( )nbkkakf x d x A f x?? ??求積節(jié)點 求積系數(shù)，與被積函數(shù)無關 像這樣，將積分用若干節(jié)點上被積函數(shù)值的 線性組合 來表示的數(shù)值積分公式稱為 機械求積公式 。 0[ ] ( ) ( )nbkkakR f f x d x A f x??? ??? 求積誤差 ? 機械型求積公式的構造歸結為，確定求積節(jié)點 xk和求積系數(shù) Ak，使在某種意義下精確度較高?？傊鉀Q三個問題： 1. 精確度的度量標準； 2. 如何構造具體的求積公式； 3. 具體求積公式構造出來后，誤差如何估計？ 定義： 代數(shù)精度 若某個求積公式對次數(shù) ? m 階 的多項式準確成立 ， 而對m+1 階 的多項式不一定準確成立 。 即對應的誤差滿足：R[ Pk ]=0 對 任意 k ? m 階 的多項式成立 ， 且 R[ Pm+1 ] ? 0 對 某個 m+1 階多項式成立 ， 則稱此求積公式的 代數(shù)精度 為 m 。 ?代數(shù)精度與誤差的關系 ：代數(shù)精度越高，求積誤差越小。 結論： 問題 1 由上面代數(shù)精度條件確定求積公式可分兩種情形： 1. 若事先給定求積節(jié)點 xk(k=0,…,n), 例如被積函數(shù)以表的形式給出時 xk確定，可令 m=n,由上式確定 n+1個系數(shù) Ak即可 待定系數(shù)法和插值法 。 2. 若 xk和 Ak都可選擇，令 m=2n +1，確定 xk和法 Ak Gauss法 要使求積公式具有 m階代數(shù)精度，則它對 1,x,…, xm均準確成立，即 ? ?? ?02201101211nkknkkknm m mkkkA b aA x b aA x b am??????????????????????????m+1個方程，2n+2個未知數(shù) 問題 2 Case 1方法 1 167。 1 插值型求積 公式 思路 利用 插值多項式 則積分易算。 )()( xfxP n ?? 在 [a, b]上取 a ? x0 x1 … xn ? b，做 f 的 n 次插值多項式 ，即得到 ???nkkkn xlxfxL0)()()(? ????ba ba knk k dxxlxfdxxf )()()( 0 Ak ? ? ? ??? ba kj xx xxk dxA jk j )( )(由 決定， 與 無關。 節(jié)點 f (x) 插值型積分公式 /*interpolatory quadrature*/ ? ???? ????????????bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()]()([)()(][?誤差 Case 1方法 2 167。 1 NewtonCotes Formulae 例： 對于 [a, b]上 1次插值，有 )()()(1 bfafxL ab axba bx ???? ??)]()([)( 2221 bfafdxxfAA abbaab ???? ?? ?考察其代數(shù)精度。 f(x) a b f(a) f(b) 梯形公式 /* trapezoidal rule*/ 解： 逐次檢查公式是否精確成立 代入 P0 = 1： ? ??ba abdx1]11[2 ?? ab= 代入 P1 = x ： = 代入 P2 = x2 ： ? 222 abba dxx??? ][2 baab ??32 33 abba dxx??? ][ 222 baab ??代數(shù)精度 = 1 167。 1 NewtonCotes Formulae 的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度 ? 該公式為 插值型 （即： ） ??nkkk xfA0)(?? ba kk dxxlA )(? 當節(jié)點 等距分布 時： ninabhhiaxi ,...,1,0, ?????dxxx xxA nxx ij jiji ? ?? ???0 )()(? ?? ????????????? njiinnjidtjtinin abdthhji hjt00)()!(! )1)(()( )(令 htax ??Cotes系數(shù) )(niC注： Cotes 系數(shù)僅取決于 n 和 i，
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