【正文】 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 數(shù)值分析 07:49:44 Numerical Analysis 2 本章內(nèi)容 ? 數(shù)值積分 ? 基本概念 ? NewtonCotes 求積公式 ? 復合求積公式 ? Romberg 求積公式 ? Gauss 求積公式 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分（略） 07:49:44 Numerical Analysis 3 本講內(nèi)容 ? 數(shù)值積分的必要性 ? 代數(shù)精度 ? 插值型求積公式 ? 收斂性與穩(wěn)定性 ? 數(shù)值積分基本概念 ? 公式介紹 ? 代數(shù)精度 ? 余項表達式 ? NewtonCotes 公式 07:49:44 Numerical Analysis 4 數(shù)值積分 ( ) ( ) dbaI f f x x? ?? 微積分基本公式： ? ??ba aFbFxxf )()(d)((3) f (x) 表達式未知 ，只有通過測量或?qū)嶒灥脕淼臄?shù)據(jù)表 ? 但是在許多實際計算問題中 (2) F(x) 難求！ 甚至有時不能用初等函數(shù)表示。 如 21( ) s i n , xf x x ex??(1) F(x) 表達式較復雜 時，計算較困難。如 61()1fx x? ?07:49:44 Numerical Analysis 5 幾個簡單公式 ? 矩形公式 ( ) d ( ) ( )ba f x x b a f a???( )d ( ) 2baabf x x b a f ????? ?????( ) d ( ) ( )ba f x x b a f b???? 梯形公式 ? ?1( )d ( ) ( ) ( )2ba f x x b a f a f b? ? ??? 拋物線公式 1( )d ( ) ( ) 4 ( )62baabf x x b a f a f f b?? ???? ? ? ????? ?????( ) d ( ) ( )baf x x b a f ????? 基本思想： ( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 6 一般形式 數(shù)值積分公式的一般形式 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??求積節(jié)點 求積系數(shù) 機械求積方法 ? 將定積分計算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的 函數(shù)值 的計算 ? 無需求原函數(shù) ? 易于計算機實現(xiàn) 一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些離散點 a ? x0 x1 xn ? b 上的函數(shù)值的加權平均作為 f (?) 的近似值，可得 07:49:44 Numerical Analysis 7 代數(shù)精度 定義 ：如果對于所有次數(shù)不超過 m 的多項式 f (x) ，公式 精確成立，但對某個次數(shù)為 m +1 的多項式不精確成立，則稱該求積公式具有 m 次代數(shù)精度 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??? 將 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精確成立 。 ? 但對 f (x) = xm+1 不精確成立。即： 22110 d 2mmn bmmii aibaA x x xm?????????? ?( k = 0, 1, … , m ) 代數(shù)精度的驗證方法 110 d 1kkn bkkii aibaA x x xk???????? ?07:49:44 Numerical Analysis 8 舉例 例： 試確定 Ai ， 使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??解： 將 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求積公式，使其精確成立，得 01 nA A A b a? ? ? ? ?2 2 2 3 30 0 1 11 ()3nnA x A x A x b a? ? ? ? ?110 0 1 11 ()1n n n n nnnA x A x A x b an??? ? ? ? ??220 0 1 11 ()2nnA x A x A x b a? ? ? ? ?… … 存在唯一解： 01, , , nA A A? ? ?所以求積公式為： 0( )d ( )nbiiaif x x A f x??? ??具有至少 n 階代數(shù)精度 07:49:44 Numerical Analysis 9 舉例 例： 試確定系數(shù) Ai ， 使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。 10 1 21 ( ) d ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )f x x A f A f A f? ? ? ? ??解： 將 f (x)＝ 1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得 110 1 222023302( ) / 1 2 ( ) / 2 0 ( ) / 3 2 / 3A A A b aA A b aA A b a? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求積公式為 3])1()0(4)1([ d)(1 1 fffxxf ??????易驗證該公式對 f (x)＝ x3 也精確成立，但對 f (x)＝ x4 不精確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 07:49:44 Numerical Analysis 10 舉例 例： (P100) 試確定下面求積公式中的系數(shù) ， 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 ( 0 )f x x A f A f B f? ? ??將 f (x)＝ x3 代入，等號成立，故公式具有 2 次代數(shù)精度。 解： 將 f (x)＝ 1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得 011011 0 .51 / 3AAABA???? ???? ??解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求積公式為 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 ( 0 )3 3 6f x x f f f? ? ??07:49:44 Numerical Analysis 11 代數(shù)精度 ? 容易 驗證： ? 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代數(shù)精度 ? 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代數(shù)精度 ? 特別地，任意 具有 m ( ?0 ) 次代數(shù)精度的 求積公式一定滿足 ： 010 = niniA A A A b a?? ? ? ? ??07:49:44 Numerical Analysis 12 插值型求積公式 設求積節(jié)點為： a ? x0 x1 xn ? b 若 f (xi) 已知，則可做 n 次多項式插值： 0( ) (( ))nn iiiLx l x f x?? ?其中 ( ) dbiiaA l x x? ? 插值型求積公式 00( ) ( ) d( )d d ( ) ( )bn i iannbbiiaaiif x x x f x fx x x A xLl??? ? ? ?????誤差： ? ?[ ] ( ) ( ) d ( ) dbb nnaaR f f x L x x R x x? ? ???( 1 )01()( ) ( )( ) ( )( 1 ) !nnnfR x x x x x x xn??? ? ? ??其中 07:49:44 Numerical Analysis 13 插值型求積公式 當 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 時，有 即公式精確成立 ( ) 0nRx ? 0Rf ?[]( ) d d()bbaa nLxf x x x???性質(zhì) ：插值型求積公式具有至少 n 次代數(shù)精度 定理 ：下面的求積公式具有 至少 n 次代數(shù)精度 的充要條件是該 公式是插值型 的 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ?? 證明： P101 07:49:44 Numerical Analysis 14 求積公式余項 性質(zhì) ：若求積公式的代數(shù)精度為 m，則余項為 ( 1 )0[ ] ( )d ( ) ( )nbmiiaiR f f x x A f x K f ???? ? ???其中 K 為待定系數(shù)，但與 f (x) 無關 ( , )ab? ?如何確定 K 的值？ ? 將 f (x) = xm+1 代入可得 110d ( 1 ) !nbmmiiaix x A x K m???? ? ? ???22101( 1 ) ! 2mm nmiiibaK A xmm????????????? ?? ?07:49:44 Numerical Analysis 15 舉例 例： 試確定梯形公式的余項表達式 解： 梯形公式 ( )d ( ) ( )22ba b a b af x x f a f b?????代數(shù)精度為 1，故 22101( 1 ) ! 2mm nmiiibaK A xmm????????????? ?? ?332212 ! 3 2 2b a b a b aab??? ? ?? ? ????? ? ?3112 ba? ? ?所以梯形公式的余項為 ? ? 31[ ] 39。 39。 ( )12R f b a f ?? ? ? ?( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 16 舉例 例： 試確定下面的求積公式的余項表達式 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 ( 0 )3 3 6f x x f f f? ? ??解： 由前面的計算可知，該公式的代數(shù)精度為 2，故 22101( 1 ) ! 2mm nmiiibaK A xmm????????????? ?? ?所以該公式的余項為 ( 3 )1[ ] ( )72R f f ???( 0 , 1 )? ?1 1 1 1003 ! 4 3 7 2??? ? ? ? ? ?????07:49:44 Numerical Analysis 17 收斂性 定義 ：如果求積公式 滿足 則稱該求積公式是 收斂的 。 0( )d ( )