武漢大學數(shù)值分析課件第8講常微分方程數(shù)值解法(已修改)
2025-06-06 20:19 本頁面
【正文】 Ordinary Differential Equations ? 一階常微分方程的初值問題： ? 節(jié)點： x1x2 … xn ? 步長 為常數(shù) ???????00 )(),(yxyyxfdxdy1??? ii xxh? 一 歐拉方法（折線法） yi+1=yi+h f(xi,yi) (i =0,1, … , n1) 優(yōu)點：計算簡單。 缺點：一階精度。 ? 二 改進的歐拉方法 )(21),(),(11cpipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy????????? 改進的歐拉公式可改寫為 它每一步計算 f(x,y)兩次，截斷誤差為 O(h3) ???????????????),(),()(2121211hkyhxfkyxfkkkhyyiiiiiiydtdy ??10,1)0( ??? tytey ??精確解 ： function [t,y] = Heun(ode,tspan,h,y0) t = (tspan(1):h:tspan(end))39。 n = length(t)。 y = y0*ones(n,1)。 for i=2:n k1 = feval(ode,t(i1),y(i1))。 k2 = feval(ode,t(i),y(i1)+h*k1)。 y(i) = y(i1)+h*(k1+k2)/2。 end ? 三 龍格 — 庫塔法 (RungeKutta) 歐拉公式可改寫為 它每一步計算 f (xi,yi) 一次，截斷誤差為 O(h2) ???????),(111iiiiyxfkhkyy? 標準四階龍格 — 庫塔公式 每一步計算 f (x, y) 四次，截斷誤差為 O(h5) ???????????????????????????),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyyiiiiiiiiii0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1 0 0 1 1/6 2/6 2/6 1/6 .)()),(),(,()(。)()),(),(,()(39。39。??????bvxvxuxgxvauxvxuxfxu? ?? ?4321143211226226cccchvvkkkkhuuiiii????????????),(),()21,21,2()21,21,2()21,21,2()21,21,2(),(),(33433422322311211211hcvhkuhxgchcvhkuhxfkhcvhkuhxgchcvhkuhxfkhcvhkuhxgchcvhkuhxfkvuxgcvuxfkiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii??????????????????????????對于兩個分量的一階常微分方程組 用經(jīng)典 4階 RungeKutta 法求解的格式為 ,11 ??? ??njjjii kbhyy.,3,2,),(),(11111njackahyhcxfkyxfkjmjmjjmmjmijijii?????????????n 級顯式 RungeKutta 方法的一般計算格式： 其中 .1,3,2),51623(12 211 ?????? ??? Nifffhyy iiiii ?.1,4,3),9375955(24 3211 ??????? ???? Niffffhyy iiiiii ?.1,3,2),5199(24 2111 ??????? ???? Niffffhyy iiiiii ?Adams 外插公式（ Adams
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