數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分(已修改)
2025-09-04 01:55 本頁面
【正文】 第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1 數(shù)值積分的基本概念實際問題當中常常需要計算定積分。在微積分中，我們熟知，牛頓—萊布尼茲公式是計算定積分的一種有效工具，在理論和實際計算上有很大作用。對定積分，若在區(qū)間上連續(xù)，且的原函數(shù)為，則可計算定積分似乎問題已經(jīng)解決，其實不然。如1）是由測量或數(shù)值計算給出數(shù)據(jù)表時，NewtonLeibnitz公式無法應(yīng)用。2）許多形式上很簡單的函數(shù)，例如等等，它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。3）即使有些被積函數(shù)的原函數(shù)能通過初等函數(shù)的有限形式表示，但應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計算，仍涉及大量的數(shù)值計算，還不如應(yīng)用數(shù)值積分的方法來得方便，既節(jié)省工作量，又滿足精度的要求。例如下列積分對于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計算方法——數(shù)值積分法。 數(shù)值求積分的基本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應(yīng)該避免用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。由積分中值定理：對，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖41）。問題在于點的具體位置一般是不知道的，因而難以準確算出。我們將稱為區(qū)間上的平均高度。這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積分方法。如果我們用兩端的算術(shù)平均作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式 (41)便是我們所熟悉的梯形公式（圖42）。而如果改用區(qū)間中點的“高度”近似地取代平均高度，則可導(dǎo)出所謂中矩形公式（簡稱矩形公式） (42)更一般地，我們可以在區(qū)間上適當選取某些節(jié)點，然后用加權(quán)平均得到平均高度的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式： 圖41 圖42 (43)式中稱為求積節(jié)點；成為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點的權(quán)。權(quán)僅僅與節(jié)點的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式。這類由積分區(qū)間上的某些點上處的函數(shù)值的線性組合作為定積分的近似值的求積公式通常稱為機械求積公式，它避免了NewtonLeibnitz公式尋求原函數(shù)的困難。對于求積公式(43)，關(guān)鍵在于確定節(jié)點和相應(yīng)的系數(shù)。 代數(shù)精度的概念由Weierstrass定理可知，對閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多項式一致逼近。一般說來，多項式的次數(shù)越高，逼近程度越好。這樣，如果求積公式對階多項式精確成立，那么求積公式的誤差僅來源于階多項式對連續(xù)函數(shù)的逼近誤差。因此自然有如下的定義 如果某個求積公式對于次數(shù)不超過的多項式均準確地成立，但對于次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。例1 判斷求積公式的代數(shù)精度。解 記因為所以求積公式具有5次代數(shù)精度。最直接自然的一種想法是用在上的插值多項式代替，由于代數(shù)多項式的原函數(shù)是容易求出的，我們以在上的積分值作為所求積分的近似值，即這樣得到的求積分公式稱為插值型求積公式。通常采用Lagrange插值。設(shè)上有個互異節(jié)點，的次Lagrange插值多項式為其中，插值型求積公式為
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