數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分-全文預(yù)覽
【正文】 ，只要，即時，方程組有解。解 利用逐次分半算法(420)和Romberg算法(425)，計算結(jié)果見表43。特別地，在外推算法式(424)中，取，并記，則有 (425)經(jīng)過次加速后，余項便取下列形式： (426)上述處理方法通常稱為李查遜（Richardson）外推加速方法。隨著的增大，收斂速度越來越快，這就是Richardson外推法。 李查遜（Richardson）外推法假設(shè)用某種數(shù)值方法求量的近似值，一般地，近似值是步長的函數(shù)，記為，相應(yīng)的誤差為 (421)其中是與無關(guān)的常數(shù)。實際計算時，我們總是從某個步長出發(fā)計算近似值，若精度不夠可將步長逐次分半以提高近似值，直到求得滿足精度要求的近似值。因此若用復(fù)化梯形公式求積分，應(yīng)等于41才能達到精度。例2 根據(jù)函數(shù)表41表4101用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計算的近似值，并估計誤差。事實上只要，則可得收斂性，因為由(415)得所以復(fù)化梯形公式(415)收斂。但縮小步長等于增加節(jié)點數(shù)，亦即提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，這樣并不一定能提高精度。證明 我們只要驗證，當為偶數(shù)時，NC公式對的余項為零。表4112345678從表41可看出，當時出現(xiàn)了負系數(shù)，實際計算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計。由的表達式可看出，它不但與被積函數(shù)無關(guān)，而且與積分區(qū)間也無關(guān)。若有正有負時，假設(shè)，且，有它表明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會引起計算結(jié)果誤差的增大，即計算可能不穩(wěn)定。實際使用任何求積公式時，除截斷誤差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數(shù)值穩(wěn)定性。 形如(43)的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是插值型的。通常采用Lagrange插值。因此自然有如下的定義 如果某個求積公式對于次數(shù)不超過的多項式均準確地成立，但對于次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。對于求積公式(43)，關(guān)鍵在于確定節(jié)點和相應(yīng)的系數(shù)。如果我們用兩端的算術(shù)平均作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式 (41)便是我們所熟悉的梯形公式（圖42）。由積分中值定理：對，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖41）。2）許多形式上很簡單的函數(shù)，例如等等，它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1 數(shù)值積分的基本概念實際問題當中常常需要計算定積分。如1）是由測量或數(shù)值計算給出數(shù)據(jù)表時，NewtonLeibnitz公式無法應(yīng)用。 數(shù)值求積分的基本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應(yīng)該避免用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)
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