數值分析--第4章數值積分與數值微分-全文預覽
【正文】 ，只要，即時，方程組有解。解 利用逐次分半算法(420)和Romberg算法(425)，計算結果見表43。特別地，在外推算法式(424)中，取，并記，則有 (425)經過次加速后，余項便取下列形式： (426)上述處理方法通常稱為李查遜（Richardson）外推加速方法。隨著的增大，收斂速度越來越快，這就是Richardson外推法。 李查遜（Richardson）外推法假設用某種數值方法求量的近似值，一般地，近似值是步長的函數，記為，相應的誤差為 (421)其中是與無關的常數。實際計算時，我們總是從某個步長出發(fā)計算近似值，若精度不夠可將步長逐次分半以提高近似值，直到求得滿足精度要求的近似值。因此若用復化梯形公式求積分，應等于41才能達到精度。例2 根據函數表41表4101用復化梯形公式和復化辛普森公式計算的近似值，并估計誤差。事實上只要，則可得收斂性，因為由(415)得所以復化梯形公式(415)收斂。但縮小步長等于增加節(jié)點數，亦即提高插值多項式的次數，Runge現象表明，這樣并不一定能提高精度。證明 我們只要驗證，當為偶數時，NC公式對的余項為零。表4112345678從表41可看出，當時出現了負系數，實際計算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計。由的表達式可看出，它不但與被積函數無關，而且與積分區(qū)間也無關。若有正有負時，假設，且，有它表明初始數據的誤差可能會引起計算結果誤差的增大，即計算可能不穩(wěn)定。實際使用任何求積公式時，除截斷誤差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數值穩(wěn)定性。 形如(43)的求積公式至少有次代數精度的充分必要條件是插值型的。通常采用Lagrange插值。因此自然有如下的定義 如果某個求積公式對于次數不超過的多項式均準確地成立，但對于次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有次代數精度。對于求積公式(43)，關鍵在于確定節(jié)點和相應的系數。如果我們用兩端的算術平均作為平均高度的近似值，這樣導出的求積公式 (41)便是我們所熟悉的梯形公式（圖42）。由積分中值定理：對，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖41）。2）許多形式上很簡單的函數，例如等等，它們的原函數不能用初等函數的有限形式表示。第4章 數值積分與數值微分1 數值積分的基本概念實際問題當中常常需要計算定積分。如1）是由測量或數值計算給出數據表時，NewtonLeibnitz公式無法應用。 數值求積分的基本思想根據以上所述，數值求積公式應該避免用原函數表示，而由被積函數的值決定。這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應
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