數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分(存儲(chǔ)版)
【正文】 代數(shù)精度，那么有取，式(1)精確成立，即 (228)式(2)構(gòu)成階的非線性方程組，且具有個(gè)未知數(shù)，所以當(dāng)給定后，只要，即時(shí)，方程組有解。對(duì)于，用除，記商為，余式為，即，其中，由式(429)可得 (430)由于所給求積公式(427) 是插值型的，它對(duì)于是精確成立的，即再注意到，知，從而由(430)有可見(jiàn)求積公式(427)對(duì)一切次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式精確成立，因此為高斯點(diǎn)。定理7 設(shè)，高斯求積公式是收斂的，即6 數(shù)值微分在微積分學(xué)里，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般來(lái)講是容易辦到的，但若所給函數(shù)由表格給出，則就不那么容易了，這種對(duì)列表函數(shù)求導(dǎo)數(shù)通常稱為數(shù)值微分。設(shè)在節(jié)點(diǎn)上的次Hermite插值多項(xiàng)式為，即由Hermite余項(xiàng)公式有定理6 高斯求積公式的求積系數(shù)全是正的。設(shè)，則，因此，如果是高斯點(diǎn)，則式(1)對(duì)于精確成立，即有故式(429)成立。試想如果對(duì)節(jié)點(diǎn)不加限制，并適當(dāng)選擇求積系數(shù)，可能會(huì)提高求積公式的精度。進(jìn)一步分析，我們有如下歐拉—麥克勞林（EulerMaclaurin）公式： 設(shè)，則有其中系數(shù)與無(wú)關(guān)。注意到每個(gè)子區(qū)間經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為注意，這里代表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得即 (420)這表明，將步長(zhǎng)由縮小為時(shí)，等于的一半再加新增加節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值乘以當(dāng)前步長(zhǎng)。為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求的高階導(dǎo)數(shù)，由于所以有于是由復(fù)化梯形誤差公式(416)得由復(fù)化辛普森誤差公式(419)得例3 若用復(fù)化求積分公式計(jì)算積分的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，應(yīng)取多大？解 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有于是要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過(guò)。因此，實(shí)際中不采用高階NC公式，為提高計(jì)算精度，可考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式插值，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。 偶階求積公式的代數(shù)精度作為插值型的求積公式，階的牛頓柯特斯公式至少具有次的代數(shù)精度。將積分區(qū)間劃分為等分，步長(zhǎng)，等距節(jié)點(diǎn)。反之，如果求積公式(43)至少具有次代數(shù)精度，那么對(duì)于插值基函數(shù)應(yīng)準(zhǔn)確成立，并注意到，即有所以求積公式(43)是插值型的。解 記因?yàn)樗郧蠓e公式具有5次代數(shù)精度。權(quán)僅僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式。例如下列積分對(duì)于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計(jì)算方法——數(shù)值積分法。在微積分中，我們熟知，牛頓—萊布尼茲公式是計(jì)算定積分的一種有效工具，在理論和實(shí)際計(jì)算上有很大作用。問(wèn)題在于點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出。 代數(shù)精度的概念由Weierstrass定理可知，對(duì)閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多項(xiàng)式一致逼近。設(shè)上有個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，的次Lagrange插值多項(xiàng)式為其中，插值型求積公式為 (44)其中。在求積公式(43)中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即，記如果對(duì)任給正數(shù)，只要誤差充分小就有 (46)它表明求積公式(43)計(jì)算是穩(wěn)定的，由此給出： 對(duì)任給，若存在
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