【正文】 正交分解，即 A=QR。 18 數(shù)值分析試題 (A) 院系： 專業(yè) ： 分數(shù)： 姓名： 學號 日期： 。 39。 12 數(shù)值分析試題 (A) 院系 ,專業(yè) ： 分數(shù)： 姓名 ,學號： 日期： . 注：計算題取小數(shù)點后 5位。 ( ) 39。221139。 39。( ) 39。39。 2 5. (10分 )用 最小二乘法確定一條經(jīng)過原點的二次曲線，使之擬合下列數(shù)據(jù) 1 .0 2 .0 3 .0 4 .00 .8 1 .5 1 .8 2 .0iixy??? 6. (20分 )給出數(shù)據(jù)點： 0 1 3 41 9 1 5 6iixy ??? ?? （ 1）用 0 1 2,x x x 構(gòu)造二次 Lagrange 插值多項式 2()Lx，并計算 ? 的近似值 2()L 。 1. (10分 )利用 GaussLegendre 求積公式 ??????11)()0()()( fffdxxf 導出求積分 03()f x dx??的三點高斯型求積公式。 7． (10分 ) 設(shè) 矩陣 A 可逆， A? 為 A 的 誤差矩陣，證明：當11A A???時， AA?? 也可逆 。39。39。 七、 (15分 ) 用 最小二乘法確定一條經(jīng)過原點的二次曲線，使之擬合下列數(shù)據(jù) 0 1 .0 2 .0 3 .00 .2 0 .5 1 .0 1 .2iixy??? 并求最小二乘擬合誤 差 2? 。 39。 39。 b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) 。 數(shù)值分析答案 一、 填空題 (每空 3分，共 15分 ) 1. n , 2n+1 . 2. ( 1) ( 1)!n n?? 3. [1, 2, 3, 4, 5] 2f ? 4. , , , ,n n n nL x b L R x R b R?? ? ? ?解 其中 為下三角陣 二、 簡單計算題 (每小 題 6分，共 18分 ) 2. 1232 , 7 , 2 ,26TTA A A A ????? ? ????? 的 特 征 值 為， 12 2 7( ) 3 .52c o nd A ??? ? ? 3. 1 0 0 2 1 12 1 0 0 1 01 1 1 0 0 2A LU?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 2 1 ( 1 , 1 , 1 ) , ( , , )2 2 2TTv u v v?? ? ? ? ? ?三（ 分）解法 ： 2 2 2 1 1 1 1 1( , ) ( 2 , 1 , 0 ) 2 ( , , ) ( 1 , 0 , 1 )2 2 2T T Tv u u A ??? ? ? ? ? ? 2 2 2 11( , 0 , )22 Tvv? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ????( 2, 5 ) , 3, ( 3, 0 ) , ( 5, 5 )1 0 00 2 / 3 5 / 30 5 / 3 2 / 3T T Tx y u x yH1. 15 3 3 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )1 1 1 1 1 1 1( 0, 1 , 1 ) ( , , ) ( , 0, )2 2 2 2 2 2 23 ( 1 , 1 , 1 )4T T TTv u u A u A? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? 3 3 3 111( , , )222 Tvv? ? ? ? 11. 12 ( 1 , 1 , 1 ) ,Tvu? ? ?三（ 分）解法2 ： 2 2 12111( 2, 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0, 1 )( , ) 4 1( , ) 4T T Tv u vu Avv Av??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 1 1 2 23 1 3 2121 1 2 21 1 3( 0, 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0, 1 ) ( 1 , 1 , 1 )4 2 4( , ) ( , )11,( , ) 4 ( , ) 2T T T Tv u v vu A v u A vv A v v A v????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1222122112239。t=1/(x1)。 （ 2）用事后誤差估計方法估計 3()N 的誤差。() , 0 , 1 , 2 ,()kkk kfxx x kfx? ? ? ? 得 321 2 3 2() 5 , 0 , 1 , 2 ,6 ( ) 6 6kk k kk k kxa ax x x kx x a x? ?? ? ? ? ?? （ 2）上述迭代格式對應(yīng)的迭代函數(shù)為25() 66axx x? ??，于是 39。 x(n)=b(n)/A(n,n)。( )kkk kfxxx fx? ?? 6。 (6) 數(shù)值微分公式 ( 2 ) ( 2 )39。 for i=n1:1:1 X(i)=(b(i)A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i)。 33 （ 2） 寫出求方程 cosxx? 根的牛頓迭代格式。 由 0 2 2 0( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ?和 1 2 2 1( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ?得 1210 010 5 0b b??? ??? ，即 1202bb ??? ??? 因此， 22( ) 2xx? ??。2 1 2a a b b? ? ? ? ?，故所求積分公式為 2 39。 39。 所有試題答案寫在答題紙上，答案寫在試卷上無效 32 （ 9）解初值問題 ??? ???00 )(),( yxy yxfy 的改進的歐拉法是 階方法。 (2) 設(shè)數(shù)據(jù) 12,xx的絕對誤差 分別 為 和 ，那么 12xx? 的絕對誤差 約 為 ____ _。 （注： 取小數(shù)點后四位 ） 四、 (15分 ) 已知函數(shù)值表 1 2 3 4( ) 1 .1 2 .6 2 .8 1 .6i ixfx ??? ?? 用二次多項式計算 x= 時函數(shù)的較好近似值 ,并估計誤差 . 五 、 (15分 ) （ 1）求 [0， 1]區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù) ( ) lnxx? ?? 的首項系數(shù)為 1 的正交多項式 01( ), ( )xx??。 六、 (15分 ) 210 33( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )I f x d x f f I? ? ? ? ? ?? ( 4 )2221 0( 4 )22202( 4 )220( 4 )( 4 )( ) 3 3( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )4 ! 3 3( ) 3 3( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )4 ! 3 3( ) 1( 1 )4 ! 3( ) 8 1()4 ! 45 135fI I x x dxfx dxfx dxff?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ?????????? 24 ( 1 ) ( )11.( 1 5 )( 1 )()kkx B x gB D D Ag D b??????????七 分 迭 代 矩 陣 右 端 向 量 1122D=nnaaa???????? 111112,1 1 1( ) m ax m ax 1 ( 1 1 ) 12 2 2.nii ijjjinnij iji n i njjii iijiA a aaaBB???? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ? ? ????????（ ） 嚴 格 對 角 占 優(yōu) 即所 以 此 迭 代 格 式 收 斂 25 數(shù)值分析試題 院系： 專 業(yè) ： 分數(shù)： 姓名： 學號： 日期： 一、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) 1．設(shè) 1221A ?????????，則 A 的奇異值 1 _____.? ? 2. 已知 2()Px是用極小化插值法得到的 sinx 在 [0,3] 上的二次插值多項式，則 2()Px的 截斷誤差上界為 2( ) si n ( )R x x P x? ? ?_________ . 3. 設(shè) 42( ) 2 3 1f x x x? ? ?和節(jié)點 , 0 , 1, 2 ,2k kxk?? 則 0 1 5[ , , , ] ___ ___ __f x x x ? 和 4 0( ) ___ ___ ___fx?? . 4．如下兩種計算 1e? 近似值的方法中哪種方法能夠提供 較好的近似。 七、 (15分 ) 已知求解線性方程組 Ax=b 的分量迭代格式 ( 1 ) ( ) ( )1 ), 1 , 2 , ,nk k ki i i i j jjiix x b a x ina?? ?? ? ? ??（ （ 1）試導出其矩陣迭代格式及迭代矩陣； （ 2）證明當 A 是嚴格對角占優(yōu)陣， 12?? 時此迭代格式收斂。 （ 1）寫出解 ( ) 0fx? 的 Newton 迭代格式； （ 2）證明此迭代格式是線性收斂的。 六、（ 12 分） 1 1 / 2 1 1 10 0 1 / 2 1 11 1 1 1 3 14 4 4 4 4 4x d x x d x x d x t d t t d t??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( 1 735 1 735 3 735 3 735 )8? ? ? ? ? ? ? ?? 212212 22212 ( ) 1 , ( ) ( 1 )1 1 22 2 , , ,3 3 4 4 30 100 ,100 354 ( ) ( 1 ) ( 1 )七 （、 分 ） x x x xYaabbs x x x??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 7八 、 （ 分 ） ( ) ( ) ( )G x x x? ? ?? 0 1 n證 明 ： 非 奇 異 , , . . . , 線 性 無 關(guān) ( ) ( ) ( )x x x? ? ?0 1 n反 證 ： 假 設(shè) , , . . . , 線 性 相 關(guān) ， ( j = 0 , 1 , , n) ( )jjc c x??n jj=0存 在 不 全 為 零 的 使 =0 ( ( ) ( )jc x x???n jkj=0 ， ) = 0 , k = 0 , 1 , . . . , n 17 ( ) ( ) jx x c kGC???n jkj=0（ ， ） = 0 , = 0 , 1 , . . . , n 有 非 零 解 ,即 ： =0 有 非 零 解 , G奇 異 ,矛 盾 。 13 三、 (12分 ) 已 知 一 組 線 性 無 關(guān) 的 向 量 1 2 3( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ,.T T Tu u u? ? ? ??????