【正文】 223 0 21 26 02 0 7260,21k k kkkkkGx x xxxxxB?? ? ? ???? ? ???????? ? ? ??????? ???????? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ?（ 分 ）迭 代 矩 陣 的 特 征 方 程 為26, ( ) 1 ,21GB? ?? 發(fā) 散 4 ? ? ? ?? ?? ?223 . 1 5 ( 1 ) 4 ,( 2 ) 2 , 1 , 0 , 3 , 2 , , 0 , 0 , , 20 , 3 , 0 , 3 ,121 0 0 00130031 222 0 , 3 , 0 , 30 0 0 1 063 3100221 3 1 320222 0 3 02 3 1 2 300220 0 1 0TTTTTAx y x yuu x y wH I w w IHAH????? ? ? ? ?? ? ? ??????????? ??????? ? ? ? ???????????????????????????? ??? ??????????（ 分 ）??????? 20 1 24 . 1 0 ( ) 1 , ( ) 2 .5 , ( ) ( 2 .5 ) 1 .2 5x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?（ 分）2121225. 10 ( ) , ( )1 1 0. 82 4 1. 5, , ,3 9 1. 84 16 2. 030 10 0 17 .2 0. 94 97,10 0 35 4 55 0. 11 29( ) 0. 94 97 0. 11 29x x x xYaabbs x x x????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???（ 分） 5 2221 2 2 22 2 2 26. 20 ( ) ,( ) 9 3 ( 1 ) 4( 1 ) ( 3 )( ) , 0( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 04 4( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 04LN x x x xNR f L L NR f N L N?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??（ 分）2 3 4( 4 )0 1 1 1 1 12 3 4( 4 )2 1 1 1 1 22239。 7． (10分 ) 設(shè) 矩陣 A 可逆， A? 為 A 的 誤差矩陣，證明：當(dāng)11A A???時(shí)， AA?? 也可逆 。 4. (10分 ) 求關(guān)于點(diǎn)集 ? ?1,2,3,4 的正交多項(xiàng)式 ? ?0 1 2( ), ( ), ( )x x x? ? ?。 1. (10分 )利用 GaussLegendre 求積公式 ??????11)()0()()( fffdxxf 導(dǎo)出求積分 03()f x dx??的三點(diǎn)高斯型求積公式。 2. (15分 )寫(xiě)出求解線(xiàn)性代數(shù)方程組 1 2 312132 2 5312 7 2x x xxxxx? ? ???? ? ? ??? ??? 的 GaussSeidel 迭代格式，并分析此格式的斂散性。 2 5. (10分 )用 最小二乘法確定一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次曲線(xiàn)，使之?dāng)M合下列數(shù)據(jù) 1 .0 2 .0 3 .0 4 .00 .8 1 .5 1 .8 2 .0iixy??? 6. (20分 )給出數(shù)據(jù)點(diǎn)： 0 1 3 41 9 1 5 6iixy ??? ?? （ 1）用 0 1 2,x x x 構(gòu)造二次 Lagrange 插值多項(xiàng)式 2()Lx，并計(jì)算 ? 的近似值 2()L 。 8． (10分 )設(shè) ()fx 四階連續(xù)可導(dǎo)， 0 , 0 ,1, x ih i? ? ? 試建立如下數(shù)值微分 公式 39。39。( ) 39。( ) 39。39。 39。 八、 (10分 ) ( 1 ) ( ) ( )2 0 1 10 5 0 , 32 0 3 1( ) , ( 0, 1 , 2, ).k k kAbx x a A x b kA x b a a?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??已 知 , 用 迭 代 公 式求 解 問(wèn) 取 什 么 實(shí) 數(shù) 可 使 迭 代 收 斂 ， 且 為 何 值 時(shí)收 斂 最 快 ？ 8 數(shù)值分析答案 一、 填空題 (每小題 3 分，共 15 分 ) 1. a= 3 , b= 3 , c= 0 . 2. 0 ()nkk kl x x? ?? 3. 不穩(wěn)定 4. [1, 2, 3, 4, 5, 6] 0f ? 5. , , ,m n n my Ax y A R x R y R?? ? ? ? ? 二、 簡(jiǎn)單計(jì)算題 (每小題 6分，共 18分 ) 2. 111 1 1 121( ) 4 1 4 , 5 1 3c o n d A A A A?? ???? ? ? ? ? ???? 3. 代數(shù)精度為 2。221139。 ( ) 39。 ( ) 39。 39。 12 數(shù)值分析試題 (A) 院系 ,專(zhuān)業(yè) ： 分?jǐn)?shù)： 姓名 ,學(xué)號(hào)： 日期： . 注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后 5位。 end b ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n )。 39。 2 22239。 18 數(shù)值分析試題 (A) 院系： 專(zhuān)業(yè) ： 分?jǐn)?shù)： 姓名： 學(xué)號(hào) 日期： 。n=length(a) ( )。 三、 (15分 )已知矛盾方程組 Ax=b， 其中2 1 11 0 , 11 0 12 11Ab??? ???? ???????????????， （ 1）用 Householder 方法求矩陣 A 的正交分解，即 A=QR。 五、 (15分 ) （ 1）設(shè) 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x是定義于 [1， 1]上關(guān)于權(quán)函數(shù) 2()xx? ? 的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的正交多項(xiàng)式組，若已知 01( ) 1 , ( )x x x????，試求出 2()? 。 20 數(shù)值分析答案 三、 填空題 (每小題 3 分 ，共 15 分 ) 1. 41 102 ?? . 2. 123, 1???? 3. 4. 120 5. 233 4 610 1 ( 1 ) ( 1 )y x x x? ? ? ?? ? ? 二、（ 10分 ) 解：（ 1）因 32( ) ( )f x x a??，故 39。35() 63axx? ??? ， 又 * 3xa? ，則有 39。 _____ 方法 1： 19101!ne n??????????? 方法 2： 19101(9 ) !ne n?????? ?????? 5. 已知 ? 是非線(xiàn)性方程 f(x)=0 的二重根，試構(gòu)造至少二階收斂的迭代格式 __________________. 6．給出求解線(xiàn)性方程組 1 2 31 2 31 2 3889 2 688x x xx x xx x x? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? 的收斂的 Jacobi 迭代格式（分 量 形式） ______________________及相應(yīng)的迭代矩陣 ______________________。 for i=n1:1:1 x(i)=(b(i)A(i,i+1:n)* x(i+1:n))/A(i,i)。 （ 2）構(gòu)造帶權(quán) ( ) lnxx? ?? 的高斯型求積公式 1110 ( ) ( ) ( )x f x d x A f x? ?? (3) 導(dǎo)出此高斯型求積公式的截?cái)嗾`差。 Jacobi迭代格式( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( ) ( )2 1 3( 1 ) ( ) ( )3 1 2( 6 2 ) / 9( 8 ) / 8( 8 ) / 8k k kk k kk k kx x xx x xx x x???? ? ? ??? ? ???? ? ? ??迭代矩陣210 991108811 088JB??????????? 7. ( ) 1B? ? 8．解上三角形方程組 Ax=b 二、 (15分 )(1) 4411 4 41 0 1 .0 0 0 1 1 01 0 1 0( ) 2 .0 0 0 1 ( 2 .0 0 0 1 1 0 ) 4 1 0Ac o nd A A A??? ? ?????? ?????? ? ? ? ? ? (2) ? ?11Txx?? ? (3) ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 , 0 .0 0 0 1 0( ) 1 1 2 0 1 1TTT T Tbbx x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? %bb ??? ? 和 50%xx ??? ? 雖然方程組右端項(xiàng)擾動(dòng)的相對(duì)誤差僅為 %，然而此小擾動(dòng)引起解的相對(duì)誤差卻高達(dá)50%，這是由于 ” 系數(shù)矩陣的條件數(shù)比較大 ,方程組是病態(tài)的 ”, 從而導(dǎo)致上述結(jié)果 . 三、 (15分 ) 212( ) 1 , ( )x x x???? 28 222122210( 2 )11( 1 ), , ,120111102Y???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 22221585 10 4 35,10 34 2 3758 3( ) 2 635 7( , ) ( , ) ( , )58 36 4 2 635 7aabbs x x xY Y a Y b Y???? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 四、 (15分 )(1)建立如下差商表 ()1 2 3 54 iix f x???一階差商 二階差商 22( ) 1 . 1 1 . 5 ( 1 ) 0 . 6 5 ( 1 ) ( 2 )( 0 . 2 6 ) 1 . 1 1 . 5 0 . 7 4 0 . 6 5 0 . 7 4 1 . 7 4 0 . 8 4 6 9 4N x x x xN ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?22( ) 2 . 6 0 . 2 ( 2 ) 0 . 7 ( 2 ) ( 3 )( 0 . 2 6 ) 2 . 6 0 . 2 1 . 7 4 0 . 7 1 . 7 4 2 . 7 4 1 . 0 8 5 2 3N x x x xN? ? ? ? ? ?