數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分(文件)
【正文】 誤差，要求的高階導(dǎo)數(shù)，由于所以有于是由復(fù)化梯形誤差公式(416)得由復(fù)化辛普森誤差公式(419)得例3 若用復(fù)化求積分公式計(jì)算積分的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，應(yīng)取多大？解 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有于是要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過(guò)。故應(yīng)取。注意到每個(gè)子區(qū)間經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為注意，這里代表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得即 (420)這表明，將步長(zhǎng)由縮小為時(shí)，等于的一半再加新增加節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值乘以當(dāng)前步長(zhǎng)。令由式(423)，以作為的近似值，其誤差至少為，因此收斂于的速度比快。進(jìn)一步分析，我們有如下歐拉—麥克勞林（EulerMaclaurin）公式： 設(shè)，則有其中系數(shù)與無(wú)關(guān)。Romberg公式的計(jì)算過(guò)程見下表42表4201234(1) 輸入(2) 置(3) 計(jì)算對(duì)(4) ，輸出停機(jī)；否則，返回(3)。試想如果對(duì)節(jié)點(diǎn)不加限制，并適當(dāng)選擇求積系數(shù)，可能會(huì)提高求積公式的精度。另一方面，對(duì)式(1)，不管如何選擇與，最高精度不可能超過(guò)。設(shè)，則，因此，如果是高斯點(diǎn)，則式(1)對(duì)于精確成立，即有故式(429)成立。定理表明在上關(guān)于權(quán)的正交多項(xiàng)式系中的次多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(427)的高斯點(diǎn)。設(shè)在節(jié)點(diǎn)上的次Hermite插值多項(xiàng)式為，即由Hermite余項(xiàng)公式有定理6 高斯求積公式的求積系數(shù)全是正的。 圖1 差商示意圖現(xiàn)在考察式(434)計(jì)算近似導(dǎo)數(shù)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，首先分別將在處作Talor展開，有16。定理7 設(shè)，高斯求積公式是收斂的，即6 數(shù)值微分在微積分學(xué)里，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般來(lái)講是容易辦到的，但若所給函數(shù)由表格給出，則就不那么容易了，這種對(duì)列表函數(shù)求導(dǎo)數(shù)通常稱為數(shù)值微分。有了求積節(jié)點(diǎn)后，可如下確定求積系數(shù)其中。對(duì)于，用除，記商為，余式為，即，其中，由式(429)可得 (430)由于所給求積公式(427) 是插值型的，它對(duì)于是精確成立的，即再注意到，知，從而由(430)有可見求積公式(427)對(duì)一切次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式精確成立，因此為高斯點(diǎn)。定義4 如果求積分公式(427)具有次代數(shù)精度，則稱這組節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)，相應(yīng)公式(427)稱為帶權(quán)的高斯求積公式。設(shè)有個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的機(jī)械求積分公式 (227)具有次代數(shù)精度，那么有取，式(1)精確成立，即 (228)式(2)構(gòu)成階的非線性方程組，且具有個(gè)未知數(shù)，所以當(dāng)給定后
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