【正文】 算術運算中的誤差 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 63 數(shù)值方法解題的一般過程： 1. 對于要解決的問題建立數(shù)學模型 2. 研究用于求解該數(shù)學問題近似解的算法和過程 3. 按照 2進行計算，得到計算結(jié)果 建立數(shù) 學模型 轉(zhuǎn)化為 數(shù)值公式 進行計算 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 66 ? 數(shù)學模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗得到的 ? 由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制 ,使數(shù)據(jù)含有測量誤差 ,這類誤差叫做 觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 69 ? 1. 數(shù)學模型的精確解 – 使用數(shù)學模型、 精確數(shù)據(jù) 、精確計算 ? 2. 參數(shù)模型的精確解 – 使用數(shù)學模型、 觀測數(shù)據(jù) 、精確計算 ? 3. 計算模型的精確解 – 不能求解數(shù)學模型的精確解時，就 采用數(shù)值的方法建立該數(shù)學模型的求解模型 ，稱為 計算模型 – 使用 計算模型 、觀測數(shù)據(jù)、精確計算所獲得的解 ? 4. 計算模型的近似解 – 用計算模型、 有舍入的 觀測數(shù)據(jù)、 近似計算 獲得的解 方法誤差 (截斷誤差 ) 舍入誤差 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學問題的適定性 72 ? “良態(tài)”問題和“病態(tài)”問題 –在適定的情況下，若對于原始數(shù)據(jù)很小的變化 ， 數(shù)學模型解的變化也很小，則稱該數(shù)學問題是 良態(tài)問題 ； –若原始數(shù)據(jù)很小的變化 ， 數(shù)學模型解的變化很大，則稱為 病態(tài)問題 ? 舍入誤差對計算結(jié)果影響小的算法稱為 穩(wěn)定的算法 ,否則稱為 不穩(wěn)定的算法 . ? 數(shù)學問題的 性態(tài) 是針對 數(shù)學 問題的；數(shù)值 穩(wěn)定性是針對 數(shù)值 方法的 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學問題的適定性 76 本章內(nèi)容 ? 167。 4 算法舉例 ? 167。過多位字長部分的計算工作量可提高計算精度 。 6 誤差分配原則與處理方法 79 1. 給定運算誤差 ? ， 確定參與運算的數(shù)值字長 –若計算公式表示為 u=f(x1, x2 , …, xn)， 設 xi的舍入誤差為 ?xi，則計算結(jié)果的舍入誤差可按下式近似計算 ,)||( 1?????? ??ni ixf?? ????? ni ixf1||解得167。 6 誤差分配原則與處理方法 82 0 0 ...1...2111555???????ny???nkn kS151解： 取 Rn=?/2=, ?=?/2= 設計算公式為 1 0 1 2 3 y=1/x5 ?????151nkn kR則截斷誤差估計如下 ? ? ?? n nxdx 45 4 1167。 6 誤差分配原則與處理方法 !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項？ ? 例 對于 0≤x1 ，計算 ex時，利用 ex的泰勒展開式的部分和 86 ?絕對誤差 ? 設 A是精確值， a是近似值，則定義兩者之差 ?=aA為近似數(shù) a的絕對誤差 ?絕對誤差限 ? |?|=|aA|?(上界 )，稱為絕對誤差限 ?相對誤差 ? 絕對誤差與精確值之比 ?A= ?/A為相對誤差 ?相對誤差限 |?A|=|?/A|η (上界 )， 稱為相對誤差限 ?絕對誤差和相對誤差有關系： ?=a ?A 本章總結(jié) 87 ?有效數(shù)字 同一精確值的不同近似值，有效數(shù)字越多，它的絕對誤差和相對誤差就越小 由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 ?算術運算中的誤差 明確數(shù)據(jù)誤差在算術運算中的傳播規(guī)律并對結(jié)果誤差進行估計 ?誤差的種類及處理 方法 本章總結(jié) ? = R+? R?? 88 作業(yè) 習題一 1,2,3,4,12 。 6 誤差分配原則與處理方法 0 0 ...1...2111555???????ny例 :求 的值，總誤差要求為 441n84 ? 4. 數(shù)值字長已定，待定近似式項數(shù) !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項？ ?例 :對于 0≤x1 ，計算 ex時，利用 ex的泰勒展開式的部分和 ? 解 ： )10()!1(3)!1()( 1 ?????? ? ??nxnexR nxn初取 n=3,則有 R3(x)3/4!=, ?3=3*(*105)= 167。 absbasabS ??????? ,?????)(|)||(|)(||)(||)(babsasbbsaasS??????????????167。此時過多位字長部分的計算工作量無意義 。 6 誤差分配原則與處理方法 77 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學問題的適定性 數(shù)學模型精確解 74 ? 參數(shù)模型是病態(tài)的曲線圖 真解 參數(shù)模型精確解 (病態(tài) ) 計算模型近似解 (穩(wěn)定 ) 計算模型近似解 (不穩(wěn)定 ) 數(shù)學模型精確解 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學問題的適定性 確保數(shù)值計算結(jié)果的正確性： 對數(shù)值計算問題進行定性分析 保證其舍入誤差不會影響計算的精度 71 數(shù)學問題的適定性定義 設 D為 X=(x1, x2 , …, xn)的值域，簡記數(shù)學問題的解 Y與參量（原始數(shù)據(jù)） X的關系為 Y=f(X)。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 68 ? 由于計算機的字長有限，參加運算的數(shù)據(jù)以及運算結(jié)果在計算機上存放會產(chǎn)生誤差，這種誤差稱舍入誤差。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 65 ? 數(shù)學模型是指那些利用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實而建立起來的有關量的描述 實際問題的真解 數(shù)學模型的真解 為減化模型忽略次要因素 定理在特定 條件下建立 ? 例 用 s(t)=gt2/2, g? /秒 2來描述自由落體下落時距離和時間的關系。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 4 算法舉例 In=1nIn1 In1=1In /n 在大量計算中 ,舍入誤差的積累和傳播 ,與算法有關。 4 算法舉例 ? 例 :求二次方程 x2105x+1=0的根 58 ? 例 ： 計算 In=∫01xnex1dx， n=0,…,7 ? 解： 算法 1: 用分部積分法可以推知 In滿足以下遞推公式 In=1nIn1 取 I0=∫01ex1dx=ex1|01 =1e1≈ 逐次遞推得 I1,I2,…, I9。 4 算法舉例 ????0 !kkxkxe55 ? 改變算法計算例 –先計算 x= ,再求倒數(shù) n !nxn ??nkkkx0 !n 1 10 9 2 8 3 7 4 !nxn ??nkkkx0 !n 17 16 15 14 13 0 12 11 !nxn ??nkkkx0 !167。分子分母分別計算后相除 (取 9位小數(shù) ) A=**=* =(有舍入 ) B=**=*