武漢大學數(shù)值分析課件第8講常微分方程數(shù)值解法(編輯修改稿)
2025-07-01 20:19 本頁面
【文章內容簡介】 iy?)2/( 1hiy?????? ?? )( 1)2/( 1 hihi yy)2/( 1hiy ?自適應： 使用 2個不同的 h。如果一個大的 h和一個小的 h得到的解相同，那么減小 h就沒有意義了；相反如果兩個解差別大，可以假設大 h值得到的解是不精確的。 使用相同的 h值， 2種不同的算法。如果低精度算法與高精度算法的結果相同，則沒有必要減小 h。 Ode23 非剛性 , 單步法 , 二三階 RungeKutta,精度低 Ode45非剛性 , 單步法 , 四五階 RungeKutta,精度較高 ,最常用 Ode113非剛性 , 多步法 , 采用可變階 (113)Adams PECE 算法 , 精度可高可低 Ode15s 剛性 , 多步法 ,采用 Gear’s (或 BDF)算法 , 精度中等 . 如果 ode45很慢 , 系統(tǒng)可能是剛性的 ,可試此法 Ode23s 剛性 , 單步法 , 采用 2階 Rosenbrock法 , 精度較低 , 可解決 ode15s 效果不好的剛性方程 . Ode23t 適度剛性 , 采用梯形法則 ,適用于輕微剛性系統(tǒng) ,給出的解無數(shù)值衰減 . Ode23tb 剛性 , TRBDF2, 即 RK的第一級用梯形法則 ,第二級用 Gear 法 . 精度較低 , 對于誤差允許范圍比較差的情況 ,比 ode15s好 . Matlab 函數(shù) Matlab’s ode23 (Bogacki, Shampine) ).9865(72),(),432(9),43,43(),21,2(),(4321114321123121kkkkheyhxfkkkkhyyhkyhxfkhkyhxfkyxfknnnnnnnnnnn?????????????????????RungeKuttaFehlberg方法 (RKF45) ).401141041859256535442278,2(),410484551336808216439,(),3272962197720021971932,1312(),329323,83(),41,4(),(543216432153214213121hkhkhkhkhkyhxfkhkhkhkhkyhxfkhkhkhkyhxfkhkhkyhxfkhkyhxfkyxfknnnnnnnnnnnn??????????????????????????4階 RungeKutta近似 hkhkhkhkyz nn 54311 51410421972565140821625 ??????5階 RungeKutta近似 hkhkhkhkhkyynn 654311 552509564302856112825665613516 ???????局部誤差估計 11 ?? ? nn zyMatlab’s ode45 is a variation of RKF45 0)1( 2 ???? xxxx ???xxxx???21????????1221221)1( xxxxxx??Van der Pol: function xdot = vdpol(t,x) xdot(1) = x(2)。 xdot(2) = (x(1)^2 1)*x(2) x(1)。 xdot = xdot39。 % VDPOL must return a column vector. % xdot = [x(2)。 (x(1)^2 1)*x(2) x(1)]。 % xdot = [0 , 1。 1 ,(x(1)^2 1)] *x。 t0 = 0。 tf = 20。 x0 = [0。 ]。 [t,x] = ode45(@vdpol,[t0,tf],x0)。 plot(t,x)。 figure(101) plot(x(:,1),x(:,2))。 Lorenz吸引子 function xdot = lorenz(t,x) xdot = [ 8/3, 0, x(2)。 0, 10, 10。 x(2), 28, 1]*x。 x0 = [0,0,eps]39。 [t,x] = ode23(39。lorenz39。,[0,100],x0)。 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))。
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