【正文】 第八章 微分方程與差分方程簡介 微分方程的基本概念 可分離變量的一階微分方程 一階線性微分方程 可降階的高階微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 微分方程應(yīng)用實例 退 出 第八章 微分方程與差分方程簡介 我們知道，函數(shù)是研究客觀事物運動規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關(guān)系，在實踐中具有重要意義?？稍谠S多實際問題中，我們常常不能直接給出所需要的函數(shù)關(guān)系，但我們能給出含有所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程，我們需要從這些方程中求出所要的函數(shù)。本章主要介紹微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函數(shù)的幾種常見的解析方法；并對差分方程的有關(guān)內(nèi)容做一簡單介紹。 微分方程的基本概念 一 .引例 例 1 一曲線通過（ 1， 2），且在改曲線上任一點 M(x,y)處的切線的斜率為 2x，求該曲線的方程。 解 設(shè)所求曲線方程為 y=y(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y(x)應(yīng)滿足 ： ）式兩端積分，得對（及條件1)2(2)1(21???xyxdxdy 例 2一汽車在公路上以 10m/s的速度行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)汽車前放 20米處有一小孩在路上玩耍，司機(jī)立即剎車，已知汽車剎車后獲得加速度為－ 4 2/sm ,問汽車是否會撞到小孩？ )4(1132)3(222????? ?xyccxydxxy，則所求曲線方程：），可得）代入（將條件（＋即解 設(shè)汽車剎車后 t秒內(nèi)行駛了 s米，根據(jù)題意，反映剎車 階段汽車運動規(guī)律的函數(shù) S=S(t),應(yīng)滿足方程： )10(102)9(104,080710)8(2)7(45)6(10,0)5(42200212100022ttStvcSvctctSctdtdsvdtdsvSdtsdttttt???????????????????????????從而得到得）式，代入（）式中，將條件代入（將條件在積分一次，得）式兩端積分一次，得對（及條件在（ 9）式中令 v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要 的時間 t=，因此剎車后汽車行使距離為： 都是微分方程。導(dǎo)數(shù)，它們）式都含有未知函數(shù)的）式和（上述兩例中，（。所以汽車不會撞到小孩（米）512??????S二 .微分方程的基本概念 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（ differential equation） .未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ ordinary differential equation ） .未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（ partial differential equation） .這里我們只討論常微分方程，簡稱為微分方程，例如 )11()(22xfqydxdypdxyd ???)13(01)12(2????nndxydxydxdy等都是常微分方程。 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階（ order），例如（ 1）和（ 12）為一階微分方程，（ 5）和（ 11）為二階微分方程，而（ 13）是 n階微分方程。 如果將一個 函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個函數(shù)為該微分方程的解（ solution） .將（ 3）。（ 4）為微分方程（ 1）的解，而（ 8）和（ 10）則是微分方程（ 5）的解。 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解（ general solution） .如（ 3）和（ 8）分別是微分方程（ 1）與（ 5）的通解。由于通解中含有任一常數(shù)，所以它還不能確切的反應(yīng)某客觀事物的特定規(guī)律。為此，要根據(jù)問題的實際情況，提出確定這些常數(shù)的條件，這種條件稱為定解條件。確定了通解中的任意常數(shù)后所得。 的解，稱為微分方程的特解（ particular solution） .如 （ 10）是微分方程（ 5）的滿足條件（ 6）的特解 所研究系統(tǒng)所處的初始的定解條件，即根據(jù)或形如 10,100 000 ??? ??? ttxdtdSSy時刻的狀態(tài)得到的定解條件， 稱為初值條件 （ initial value condition） .初值條件的 個數(shù)通常等于微分方程的階數(shù)， 一階微分方程的初值條件一般為 件二階微分方程的初值條。00 yy xx ??都是給定的值。其中 00000 ,., 00 yyxyyyy xxxx ????? ?? 從幾何上看，微分方程的通解對應(yīng)著平面上的一族曲線，稱其為微分方程的積分曲線族，而特解則對應(yīng)著積分曲線族中的某一條曲線，稱其為積分曲線 (integral curve).如 cxy ?? 2 是方程（ 1）的積分曲線族 ,而 ）點的一條積分曲線。，只是其中過（ 2112 ?? xy 可分離變量的一階微分方程 一階微分方程（ differential equation of first order） 而另一端只含的函數(shù)和端只含的形式，即可表示為一如果能化成,)2()()()1(),(dyydxxfdyygyxfy??? (differential equation of separated variables). 的微分方程。的方程均為可分離變量形如0)()()()()()(2121???xQxQdxyPxPygxfdxdy離變量的微分方程那么原方程就稱為可分的函數(shù)和 ,dxx為任意常數(shù)。其中可得到微分方程的通解）式兩端分別積分，便對（C2? ? ?? Cdxxfdyyg )()(例 1 求微分方程 的通解。yxy 23??解 首先分離變量 ，得 313113132ln31xCxCCxCeyCeeeyeyCxydxxdyy?????????，則所求得通解為仍是任意常數(shù)，令其為因或即兩端積分，得 以后為了方便起見，我們可把 但要寫成 ,lnln yy記住結(jié)果中的常數(shù) C可正可負(fù)。 顯然 y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取 C=0即可。 例 2 求微分方程 dyxydxyx )1()1( 22 ??? 的通解即在條件 下的特解10 ??xy解 分離變量，得 )1(1ln21)1l n (21)1l n (2111222222xCyCxydxxxdyyy?????????＋即兩端積分，得xyCy x ???? 從而所求特解為確定再利用初值條件 ,1,11 例 3 種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù) 的最大容量為 b， 則種群生長速度不僅與 t時刻種群數(shù)量 N成正比，且與密度制約因子 bNb? 成正比，試確定種群 生長規(guī)律。 bkaNNbadtdNNbNbkdtdN??????其中或：解由題設(shè)條件可得方程)(CabtNbNabdtdNNbNNbNadtNbNdNlnln)()()(??????????得兩邊積分分離變量，得。這就是種群的生長規(guī)律于是abtabtabtabteCbCeC b eNCeNbN???????111 一階線性微分方程 分方程的方程叫做一階線性微形如 )1()()( xQyxPy ???（ linear differential equation of first Order),它的特點為左端是關(guān)于未知函數(shù) y及一階導(dǎo)數(shù) 的一次式。y ?的解法。齊次微分方程我們先來討論一階線性方程。）成為線性非其次微分時，方程（當(dāng)程；）稱為線性其次微分方則方程（如果)2(0)(10)(1,0)(?????yxPyxQxQ?????CdxxPydxxPydyln)(ln)(2.＋兩端積分，得后，得方程，分離變量）是可分離變量的微分方程（一階線性齊次微分方程一.012ln1)(