一階微分方程的ppt課件(已修改)
2024-11-15 16:13 本頁面
【正文】 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一階微分方程的 習題課 (一 ) 一、一階微分方程求解 二、解微分方程應用問題 解法及應用 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一階微分方程求解 1. 一階標準類型方程求解 關鍵 : 辨別方程類型 , 掌握求解步驟 2. 一階非標準類型方程求解 變量代換法 代換 因變量 代換 某組合式 三個標準類型 可分離變量方程 齊次方程 線性方程 代換 自變量 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 1. 求下列方程的通解 。0e1)1( 32 ??? ? xyyy提示 : (1) ,eee 33 xyxy ??因 故為分離變量方程 : 通解 。)3( 22 yyxyx ???? .2 1)4( 2yxy ???。23)2(22xyyxy ???xyy xy dede 32 ?? ?Cxy ??? ee31 3(2) 這是一個齊次方程 ， 令 y = u x ,化為分離變量方程 : xxuuu d3d22 ??目錄 上頁 下頁 返回 結束 方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , yyxyx ???? 22)3(時，0?x21 uux ???21 uux ????? ? xyxyy ???? 21? ? xyxyy ????? 21令 y = u x ,化為分 離變量方程 . 調(diào)換自變量與因變量的地位 , 221)4(yxy ???,2dd 2yxyx ???用線性方程通解公式求解 . 化為 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 2. 求下列方程的通解 : )lnln()1( yxyyyx ????提示 : (1) 令 u = x y , 得 (2) 將方程改寫為 0d)1ln(dln2)2( 2 ??? xxyyyxxyyxxyxy22363)3( 22??????uxuxu lndd ?xyyxxxy2ln21dd 3???(伯努利方程 ) 2?? yz令(分離變量方程 ) 原方程化為 目錄 上頁 下頁 返回 結束 令 y = u t yyxxyxy22363)3( 22??????)1(2)1(3dd 22????xyyxxy(齊次方程 ) ytytty23dd 22 ??令 t = x – 1 , 則 tyxttyxydddddddd ??可分離變量方程求解 化方程為 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 3. 設 F(x)＝ f (x) g(x), 其中函數(shù) f (x), g(x) 在 (－ ∞,+∞) 內(nèi)滿足以下條件 : ,0)0(),()(),()( ????? fxfxgxgxf 且(1) 求 F(x) 所滿足的一階微分方程 。 (2021考研 ) (2) 求出 F(x) 的表達式 . 解 : (1) )()()()()( xgxfxgxfxF ??????)()( 22 xfxg ??)()(2)]()([ 2 xgxfxfxg ???)(2)e2( 2 xFx ??所以 F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程 : .e2)()( xxgxf ??目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 由一階線性微分方程解的公式得 ? ?CxxF xxx ??? ?? ?? dee4e)( d22d2? ?Cxxx ?? ?? de4e 42代入上式，將 0)0()0()0( ?? gfF 1??C得于是 xxxF 22 ee)( ???xxFxF 2e4)(2)( ???xx C 22 ee ???目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習題 : (題 3只考慮方法及步驟 ) P353
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