一元微積分學(xué)ppt標(biāo)準(zhǔn)課件-35－第35講一階微分方程(已修改)
2024-10-31 08:19 本頁面
【正文】 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第三十講 一元微積分的應(yīng)用 (六 ) 腳本編寫：劉楚中 教案制作：劉楚中 —— 微積分在物理中的應(yīng)用 第七章 常微分方程 本章學(xué)習(xí)要求： ?了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念 . ?了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分 方程 .熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法 . ?會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程 . ?知道下列高階方程的降階法： .)()( xfy n ? ),( yxfy ???? ),( yyfy ?????了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法 . ?熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法 . ?掌握自由項（右端）為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方 程的解法 . 第二節(jié) 一階微分方程 )()(dd ygxfxy ?變量可分離方程 ??????? xyfxydd齊次方程 ???????????222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程 0)(dd ?? yxpxy一階線性齊方程 )()(dd xqyxpxy ??一階線性非齊方程 nyxqyxpxy )()(dd ??伯努利方程 變量代換 變量代換 變量分離 常數(shù)變易 變量代換 )()(dd ygxfxy ?變量可分離方程 ??????? xyfxydd齊次方程 0)(dd ?? yxpxy一階線性齊方程 )()(dd xqyxpxy ??一階線性非齊方程 nyxqyxpxy )()(dd ??伯努利方程 變量代換 變量代換 變量分離 常數(shù)變易 變量代換 變量可分離方程???????????222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程 一、變量可分離方程 如果一階微分方程可以化為下列形式： xxfyyg d)(d)( ?則稱原方程為變量可分離的方程。 運用積分方法即可求得變量可分離方程的通解： ?? ? xxfyyg d)(d)(其中 C 為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。 ),( 。就是原方程的通解積分的結(jié)果 Cxyy ? 將一個方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，稱為分離變量法。 例 解 ),( 1 1 002 的特解。的通解，并指出過點求方程 yxxy ???原方程即 ,1 dd 2xxy ??對上式兩邊積分，得原方程的通解 Cxy ?? a r c ta n )( 。?????? x，故時，當(dāng) 00 yyxx ?? a r c t a n 00 ，xyC ??的特解為從而，過點 ),( 00 yx a r c t a na r c t a n 00 。xxyy ??? 例 解 )1(21dd 2 。求解微分方程 ?? yxy 01 2 分離的方程時，該方程可化為變量當(dāng) ??y d1d2 2 ，xy y ??對上式兩邊積分，得原方程的通解 11ln 1 。Cxyy ???? 隱函數(shù)形式 經(jīng)初等運算可得到原
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