常微分方程--第三章一階微分方程的解的存在定理(33-34)(已修改)
2025-02-01 04:56 本頁面
【正文】 167。 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理 200( , ), ( , ) ( 1 )()dy f x yx y G Rdxy x y? ?? ???? ??考察 的解 對(duì)初值的一些基本性質(zhì) 00( , , )y x x y???解對(duì)初值的連續(xù)性 ?解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性 ?解對(duì)初值的可微性 內(nèi)容 : y x G 00( , )xy00( , , )y x x y??00( , )xy00( , , )y x x y?? ?圖例分析 (見右 ) 200( , ), ( , )()dy f x yx y G Rdxy x y? ?? ???? ??解可看成是關(guān)于 00,x x y的三元函數(shù) 00( , , )y x x y??滿足 0 0 0 0( , , )y x x y??11( , )xy 解對(duì)初值的對(duì)稱性 : 00( , , )?y x x y?00( , , )?y x x y?前提 解存在唯一 例 : 0000()xxdyyy y edxy x y??? ??????? 初值問題的解不單依賴于自變量 , 同時(shí)也依賴于初值 . 初值變動(dòng) ,相應(yīng)的初值問題的解也將隨之變動(dòng) . ………… 00( , )xyxQ:當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí) ,對(duì)應(yīng)的解是如何變化的 ? 當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí) ,方程的解變化是否也是很小呢？ 證明 ,)()(100 xyxy 值的解存在區(qū)間內(nèi)任取一滿足由 ?),( 0011 yxxy ?? 則由解的唯一性知 , ,),(),()( 0011 的解是同一條積分曲線與過點(diǎn)過點(diǎn) yxyx即此解也可寫成 : ),(11 yxxy ??且顯然有 : ),(1100 yxxy ??,),( 11 是積分曲線上任一點(diǎn)由于點(diǎn) yx。yxyxxy均成立點(diǎn)對(duì)該積分曲線上任意因此關(guān)系式),(),( 00 ??按解的存在范圍是否有限 ,又分成下面兩個(gè)問題 : Q1: 解在某有限閉區(qū)間 [a,b]上有定義 ,討論初值 的 微小變化對(duì)解的影響情況 ,稱為解對(duì)初值的連續(xù)性 .內(nèi)容 包括 :當(dāng)初值發(fā)生小的變化時(shí) ,所得到的解是否仍在 [a,b] 上有定義以及解在整個(gè)區(qū)間 [a,b]上是否也變化很小 ? 00( , )xyQ2: 解在某個(gè)無限閉區(qū)間 上有定義 ,討論初值 的微小變化是否仍有解在 上有定義 ,且解在整個(gè) 區(qū)間 上變化也很小 ?這種問題稱為解的穩(wěn)定性 問題 ,將在第六章中討論 . 00( , )xy[ , )a ??[ , )a ??[ , )a ??一 解對(duì)初值的連續(xù)性 定義 設(shè)初值問題 )(,)(),(00???????yxyyxfdxdy,],[),( 00 上存在在區(qū)間的解 bayxxy ??使得對(duì)于滿足如果對(duì) ,0),(,0 ????? ba????2202200 )()( ????? yyxx),( 00 yx的一切 并且上存在都在區(qū)間的解 ,],[),( 00 bayxxy ??],[,),(),( 0000 baxyxxyxx ??? ???).,(),(),()(00000039。yxyxyxxy連續(xù)依賴于初值在點(diǎn)的解則稱初值問題 ??39。00)(,)(),(???????yxyyxfdxdy初值問題 引理 如果函數(shù) 于某域 G內(nèi) 連續(xù) ，且 關(guān)于 y 滿足利普希茨條件 （利普希茨常數(shù)為 L），則對(duì)方程 的任 意兩個(gè)解 及 ,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不 等式 .其中 為所考慮 區(qū)間內(nèi)的某一值。 ( , )f x y( , )dy f x ydx ?()x? ()x?0x000( ) ( ) ( ) ( ) L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ?證明 令上均有定義在區(qū)間設(shè) ,],[)(),( baxx ??],[,))()(()( 2 baxxxxV ??? ???)(39。 xV則 ))()((2 xx ?? ??))()((2 xx ?? ? ))()(( 39。39。 xx ?? ?))(,())(,(( xxfxxf ?? ?))(,())(,())(()((2)(39。 xxfxxfxxxV ???? ???))()(())()((2 xxLxx ???? ??? )(2 xLV?于是 0))(( 2 ?? LxexVdxd有因?qū)?],[0 bax ??bxxexVxV xxL ??? ? 0)(20 ,)()( 0，xxa 類似可證對(duì) 0??因此 ],[,)()( 020 baxexVxV xxL ?? ?兩邊取平方根即得 ],[,)()()()( 000 baxexxxx xxL ???? ?????2 2 20 0 0 0( ) ( )x x y y ?? ? ? ?2 定理 1 (解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理 ) 00 ?( , )x y G00?? ( , , )y x x yy( , )f x y條件 : I. 在 G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部 。 II. 是 (1)滿足 的解 ,定義 區(qū)間為 [a,b]. 0? ? ?? ? ?( , , )ab0???結(jié)論 : 對(duì) , 使得當(dāng) 00?? ( , , )y x x
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