第二章一階微分方程的初等解法(已修改)
2025-08-01 18:49 本頁(yè)面
【正文】 第二章 一階微分方程的初等解法 167。 變量分離方程與變量變換 yxyedxdy ??? ?122 ?? yxdxdy先看例子： xy eye?定義 1 形如 )()()( yxfdxdy ??方程 ,稱(chēng)為 變量分離方程 . .,)(),( 的連續(xù)函數(shù)分別是這里 yxyxf ?),( yxFdxdy ?一、變量分離方程的求解 ,1 0 分離變量,)()(dxxfydy ??這樣變量就“分離”開(kāi)了 . )()()(cdxxfydy ?? ???的某一原函數(shù))(1 y?的某一原函數(shù))( xf.)(),()( 的解就為所確定的函數(shù)由 cxy ??)()()( yxfdxdy ??兩邊積分得02寫(xiě)成將時(shí)當(dāng) )(,0)( ?y?例： ? ?122 ?? yxdxdydxxy dy 22 1 ??Cdxxy dy ??? ?? 22 1Cxy ?? 331a r c t a n分離變量 : 兩邊積分 : .,)(,)(,0)(, 000必須予以補(bǔ)上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在 yyyy ???注 : 例 1 求微分方程 )101( yydxdy ??的所有解 . 解 : 再積分方程兩邊同除以 ),101( yy ?1)101(cdxyydy?????積分得 : 110ln cxyy???得再將常數(shù)記為從上式中解出 , cy,110xcey ???.0?c,100,0)101( ???? yyyy 和求出方程的所有解為由故方程的所有解為 : ,110 為任常數(shù)ccey x??? .0?y和110ln cxyy???解 : 分離變量后得 dxxdyy123??兩邊積分得 : 121ln2 cxy ????整理后得通解為 : 21 )( ln4cxy?? ,)( ln42cx?,0, 1231 無(wú)意義在由于函數(shù)其中 ?? ? xxyec c.00 之一中有
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