可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)(已修改)
2025-05-28 17:48 本頁面
【正文】 1 103 可降階的高階微分方程 2 復(fù) 習(xí) 1. 可分離變量方程 分離變量法步驟 : 。 隱式通解 . d ()dyyxx??形 如的微分方程 . 解法： ,xyu ?作變量代換 ,y xu?即 dd.yuuxxx??則3. 一階線性非齊次微分方程 （ 1）一般式 （ 2）通解公式 d ( ) ( )dy P x y Q xx ??( ) d ( ) d( ( ) d )P x x P x xy e Q x e x C? ?????d ( ) ( )dy f x g yx ?3 103 可降階的高階微分方程 高階微分方程定義： 二階及二階以上的微分方程 . 可降階的高階微分方程： 可以通過代換將它化為較低 階的方程來解， 這種類型的方程稱為 可降階的方程 . 相應(yīng)的解法稱為 降階法 . 一般形式： ( ) ( 1 )( , , , , ) .nny f x y y y ??? ? ? ?() ()ny f x?一 、 型特點： ( 1 ),. ny y y ?? ???， ，不 顯 含 未 知 函 數(shù)解法： 接連積分 n次，得通解． 4 21 c o s .xy e x??? ??求 方 程 的 通 解例解 ? ?2 c o s dxy e x x?? ? ? ?? 201 sin ,2xe x C??201 s in d2xy e x C x??? ? ? ? ??????2021 c o s ,4xe x C x C? ? ?2021 c o s d4xy e x C x C x??? ? ? ??????221 2 31 sin ,8xe x C x C x C? ? ? ? ?01:,2CC ?其 中所以原方程通解為 221 2 31 s in .8xy e x C x C x C? ? ? ? ?5 ( , )y f x y?? ??二 、 的型 微 分 方 程特點： 不顯含未知函數(shù) y. 解法： ( ) ,y P x? ?令d ,dPyPx?? ???則代入原方程 ,得 ? ?, ( ) .P f x P x? ? 這是一階微分方程 . 2 00( 1 ) 22 1 3 .xxx y x y y y???? ? ?? ? ? ?求 微 分 方 程 滿 足 , 的 特 解例解 ( , )y f x y?? ??所 給 方 程 是 型 ，( ) ,y P x? ?令 d ,dPyPx?? ???則代入原方程 ,得 212d d ,1xPxPx? ?積分 212d d ,1xPxPx? ???2l n l n ( 1 ) l n ,P x C? ? ?即 2( 1 ) ,P C x??則 得 :0 3xy ?? ?由 得 ：3C ? ，23 ( 1 ) ,Px??則 : 23 ( 1 ) ,yx? ??即 兩邊積分得 : 3 13,y x x C? ? ?0 1xy ? ?由 得 ： 11,C?33 1 .y x x? ? ?則 所 求 的 特 解 為 :6 3 y y?? ???求 微 分 方 程 的 通 解例( ) ,y P x? ?令 d ,dPyPx?? ???則解 代入原方程 0,x P P??? d ,dPxPx ??即分離變量 ,得 11ddPxPx?? ， 1l n l n l nP x C? ? ?積分得 1 ,CPx??1Cyx? ?即 ，對它兩端積分 ,得 12lny C x C?? ，原方程通解為 12l n .y C x C??7 ( , )y f y y?? ??三 、 的型 微 分 方 程特點： 不顯含自變量
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1