【微積分】線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(已修改)
2025-01-31 08:36 本頁(yè)面
【正文】 二階線(xiàn)性微分方程 )()()(22xfyxQdxdyxPdx yd ???時(shí)，當(dāng) 0)( ?xf 二階線(xiàn)性齊次微分方程 時(shí)，當(dāng) 0)( ?xf 二階線(xiàn)性非齊次微分方程 n階線(xiàn)性微分方程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?第六節(jié) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu) ] )[( 11 ??? yCxP] [)( 11 ?? yCxQ0?證畢 1. 線(xiàn)性齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(),( 21 xyxy若函數(shù) 是二階線(xiàn)性齊次方程 0)()( ?????? yxQyxPy的兩個(gè)解 , 也是該方程的解 . 證 : )()( 2211 xyCxyCy ??將 代入方程左邊 , 得 ] [ 11 ???yC 22yC ?? 22yC ?22yC])()([ 1111 yxQyxPyC ??????])()([ 2222 yxQyxPyC ??????(疊加原理 ) )()( 2211 xyCxyCy ??則定理 1. 說(shuō)明 : 不一定是所給二階方程的通解 . 例如 , 是某二階齊次方程的解 , 也是齊次方程的解 并不是通解 但是 )()( 2211 xyCxyCy ??則 為解決通解的判別問(wèn)題 , 下面引入函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)與 線(xiàn)性無(wú)關(guān)概念 . 定義 : )(,),(),( 21 xyxyxy n?設(shè) 是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù) , 使得 則稱(chēng)這 n個(gè)函數(shù)在 I 上 線(xiàn)性相關(guān) , 否則稱(chēng)為 線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 例如， 在 (?? , ?? )上都有 故它們?cè)谌魏螀^(qū)間
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