【微積分】線性微分方程解的結構(已修改)
2025-01-31 08:36 本頁面
【正文】 二階線性微分方程 )()()(22xfyxQdxdyxPdx yd ???時，當 0)( ?xf 二階線性齊次微分方程 時，當 0)( ?xf 二階線性非齊次微分方程 n階線性微分方程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?第六節(jié) 線性微分方程解的結構 ] )[( 11 ??? yCxP] [)( 11 ?? yCxQ0?證畢 1. 線性齊次方程解的結構 )(),( 21 xyxy若函數(shù) 是二階線性齊次方程 0)()( ?????? yxQyxPy的兩個解 , 也是該方程的解 . 證 : )()( 2211 xyCxyCy ??將 代入方程左邊 , 得 ] [ 11 ???yC 22yC ?? 22yC ?22yC])()([ 1111 yxQyxPyC ??????])()([ 2222 yxQyxPyC ??????(疊加原理 ) )()( 2211 xyCxyCy ??則定理 1. 說明 : 不一定是所給二階方程的通解 . 例如 , 是某二階齊次方程的解 , 也是齊次方程的解 并不是通解 但是 )()( 2211 xyCxyCy ??則 為解決通解的判別問題 , 下面引入函數(shù)的線性相關與 線性無關概念 . 定義 : )(,),(),( 21 xyxyxy n?設 是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù) , 使得 則稱這 n個函數(shù)在 I 上 線性相關 , 否則稱為 線性無關 . 例如， 在 (?? , ?? )上都有 故它們在任何區(qū)間
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